চতুর্ভুজ কাকে বলে? সংজ্ঞা ,বৈশিষ্ট্য , প্রকারভেদ ও MCQ অনুশীলনসহ এ টু জেড

চতুর্ভুজ হল একটি জ্যামিতিক আকৃতি, যা চারটি বাহু দ্বারা সংযোজিত হয়ে তৈরি হয়। এটি প্রায় সমদ্বিখণ্ডীয় হতে পারে বা অসমদ্বিখণ্ডীয় হতে পারে। একটি চতুর্ভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য ও কোণের মাধ্যমে এর বিস্তৃতি নির্ণয় করা যায়। চতুর্ভুজ হল একটি সরলরেখার পরিকল্পিত আকৃতি, যার সব কোণ মিলে ৩৬০ ডিগ্রি। চতুর্ভুজ গণিতে একটি গুরুত্বপূর্ণ আকৃতি হিসাবে বিবেচিত হয়। এটি ক্ষেত্রফল হিসাবে ব্যবহৃত হয় এবং এর পরিমাপ করার জন্য ব্যবহৃত হয়। চতুর্ভুজ বিভিন্ন ধরনের হতে পারে যেমন- আয়ত, বর্গ , রম্বস , সামন্তরিক , ট্র্যাপিজিয়াম ।চতুর্ভুজ সম্পর্কে যদি স্পষ্ট ও স্বচ্ছ ধারণা নিতে চান তাহলে আজকের টিউটরিয়ালটি আপনার জন্যই ।

প্রাথমিক আলোচনা
আয়তক্ষেত্র
বর্গক্ষেত্র
রম্বস
সামন্তরিক
ট্রাপিজিয়াম
বিভিন্ন প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষার প্রশ্ন ও সমাধান

প্রাথমিক আলোচনা

চারটি বাহু দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে চতুর্ভুজ বলে। সাধারণত আয়তক্ষেত্র, বর্গক্ষেত্র, সামন্তরিক, রম্বস এগুলো সবই এক এক প্রকার চতুর্ভুজ। এই অধ্যায়ের সাথে সম্পর্কিত বিভিন্ন নিয়মাবলী ও সূত্র এবং বিগত সালে বিভিন্ন প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষায় আসা প্রশ্নগুলো নিয়ে নিচে ধারাবাহিকভাবে আলোচনা করা হল ।

চতুর্ভুজ কাকে বলে?

চারটি সরলরেখা দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রকে চতুর্ভুজ বলে।
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি চার সমকোণ । (৩৬০°)

সংশ্লিষ্ট সূত্রঃ

চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গ একক
চতুর্ভুজের পরিসীমা = ২(দৈঘ্য+প্রস্থ)
সুতরাং চতুর্ভুজের পরিসীমা 2(a+b) অর্থাৎ দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের যোগফলকে দ্বিগুন করলে পরিসীমা বের হবে।

আয়তক্ষেত্র (rectangle) :

যে চতুর্ভূজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোণগুলো সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।

উপরের চিত্রটিতে ABCD চতুর্ভূজের দৈর্ঘ্য AD = BC এবং প্রস্থ AB = CD এবং প্রতিটি কোণ এক সমকোণ ।
সুতরাং চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র।

আয়তক্ষেত্রের বৈশিষ্ট্যঃ

আয়তক্ষেত্রের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান ।
আয়তক্ষেত্রের প্রত্যেকটি কোণ সমকোণ ।
আয়তক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় পরস্পর সমান ।
আয়তক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
আয়তক্ষেত্রের একটি কর্ণ আয়তক্ষেত্রটিকে দুটি সর্বসম ত্রিভুজে বিভক্ত করে।

আয়তক্ষেত্র সংক্রান্ত বিভিন্ন সূত্র:

আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল : (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গ একক
আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা : 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) একক
আয়ক্ষেত্রের কর্ণঃ √ $({(দৈর্ঘ্য)}^{২} + {(প্রস্থ)}^{২})$ একক।

বর্গক্ষেত্রঃ

যে চতুর্ভুজের চারটি বাহুই পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোণগুলো সমকোণ তাকে বর্গক্ষেত্র বলে ।

বর্গক্ষেত্রের বৈশিষ্ট্যঃ

আয়তক্ষেত্রের দুটি সন্নিহিত (লাগালাগি) বাহু সমান হলে তাকে বর্গ বলে ।
বর্গক্ষেত্রের সকল বাহু সমান দৈর্ঘ্যের হয়।
বর্গক্ষেত্রের প্রত্যেকটি কোণ সমকোণ( ৯০ডিগ্রি)
বর্গক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় পরস্পর সমান।
বর্গক্ষেত্রের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে ।

বর্গ সংক্রান্ত সূত্রাবলী:

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল : ( বাহু × বাহু) বর্গ একক অর্থাৎ $a^{2}$
বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা : ( ৪ × একটি বাহুর দৈর্ঘ্য) একক অর্থাৎ 4a
বর্গক্ষেত্রের কর্ণ √2a (এখানে a হলো এক বাহুর দৈর্ঘ্য)

কর্ণ সম্পর্কিত :

একটি বর্গক্ষেত্র অথবা আয়তক্ষেত্রের এক কোণ থেকে অপর কোণ পর্যন্ত দূরত্বকে কর্ণ বলে।
বর্গক্ষেত্রের কর্ণটি বর্গক্ষেত্রটিকে দুটি সর্বসম সমকোণী ত্রিভুজে বিভক্ত করে।
বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য = √2a
যে কোনো চতুর্ভুজের বিপরীত কৌণিক শীর্ষের সংযোজক সরলরেখাকে কর্ণ বলে।
যে কোনো চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয়ের সমষ্টি তার পরিসীমা অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর।

রম্বস (Rhombus) :

যে চতুর্ভুজের চারটি বাহুই পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে রম্বস বলে।

রম্বস সম্পর্কিত সূত্রাবলী:

রম্বসের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$ × (কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের গুণফল) বর্গ একক
রম্বসের পরিসীমা: = ৪ × একটি বাহুর দৈর্ঘ্য (একক)

রম্বসের বৈশিষ্ট্য সমূহ:

সামন্তরিকের দুটি সন্নিহিত বাহু সমান হলে তাকে রম্বস বলে ।
রম্বসের সকল বাহু সমান হয়।
রম্বসের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান ।
রম্বসের একটি কোণও সমকোণ নয় ।
রম্বসের কর্ণদ্বয় অসমান ।
রম্বসের সন্নিহিত কোণদ্বয়ের সমষ্টি ২ সমকোণ ।
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে।

সামন্তরিক (Parallelogram):

যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয় তাকে সামন্তরিক বলে।

সামন্তরিকের বৈশিষ্ট্য:

সামন্তরিকের বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান ।
সামন্তরিকের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান ।
সামন্তরিকের যে কোন দুইটি সন্নিহিত কোণ পরস্পরের সম্পূরক ।
সামন্তরিকের কর্ণদ্বয় অসমান ।
সামন্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করে।
সামন্তরিকের প্রত্যেক কর্ণ সামন্তরিককে দুটি সর্বসম ত্রিভুজে বিভক্ত করে ।

সামন্তরিকের সূত্র:

সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = ( ভূমি × উচ্চতা) বর্গ একক
সামন্তরিকের পরিসীমা = ২(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) একক

ট্রাপিজিয়াম (Trapezium):

যে চতুর্ভুজের দুইটি বাহু পরস্পর সমান্তরাল কিন্তু অসমান এবং অন্য বাহুদ্বয় অসমান্তরাল তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে ৷

ট্রাপিজিয়ামের বৈশিষ্ট্য:

যে চতুর্ভুজের কেবলমাত্র দুইটি বাহু সমান্তরাল, তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে ।
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের একটিকে ভূমি এবং অসমান্তরাল বাহুদ্বয়কে তির্যক বাহু বলা হয় ।
ট্রাপিজিয়ামের তির্যক বাহুদ্বয় সমান হলে একে সমদ্বিবাহু ট্রাপিজিয়াম বলা হয় ৷
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয় কখনও সমান হতে পারে না।
ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহুদ্বয় সমান হলে তা একটি আয়তক্ষেত্র বা বর্গক্ষেত্রে পরিণত হবে।

ট্রাপিজিয়ামের সূত্র:

ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$ × উচ্চতা × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমষ্টি অর্থাৎ $\frac{1}{2}$ × h × (a + b)

বিভিন্ন প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষার প্রশ্ন ও সমাধান

১. ABCD চতুর্ভুজে AB ∥ CD , AC = BD এবং ∠A = ৯০ ডিগ্রি হলে, সঠিক চতুর্ভজ কোনটি? [১৪ তম বিসিএস]

(ক) সামন্তরিক (খ) রম্বস (গ) ট্রাপিজিয়াম (ঘ) আয়তক্ষেত্র

উত্তরঃ (ঘ) আয়তক্ষেত্র

Explanation:
যেহেতু দুটি বাহু সমান ও সমান্তরাল এবং কোণ সমকোণ দেওয়া আছে তাই এটি আয়তক্ষেত্র।কারণ যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল এবং কোণগুলো সমকোণ তাকে আয়তক্ষেত্র বলে।

২. একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থকে দ্বিগুণ করলে ক্ষেত্রফল মূল আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের-- [ পরিবার পরিকল্পনা অধিদপ্তরে অফিস সহকারী কাম কম্পিউটার অপারেটর-২৪.০৬.২০১১ ]

(ক) দ্বিগুণ হবে (খ) চারগুণ হবে (গ) ছয়গুণ হবে (ঘ) আটগুণ হবে

উত্তরঃ (খ) চারগুণ হবে

Explanation:
দৈর্ঘ্য a ও প্রস্থ b হলে ক্ষেত্রফল, A = a × b = ab
দৈর্ঘ্য ২a ও প্রস্থ ২b হলে ক্ষেত্রফল, A১ = ২a × ২b = ৪ab = ৪A

৩. ABCD সামন্তরিকের DC ভূমিকে E পর্যন্ত বাড়ানো হল। ∠BAD = ১০০ ডিগ্রি হলে ∠BCE = কত? [ ৩৮ তম বিসিএস]

(ক) ৬৫ ডিগ্রি (খ) ৮০ ডিগ্রি (গ) ৪৫ ডিগ্রি (ঘ) ৬০ ডিগ্রি

উত্তরঃ (খ) ৮০ ডিগ্রি

Explanation:
DC ভূমিকে E পর্যন্ত বাড়ানো হলে ∠CDE একটি সরলকোণ তৈরি হয়। য়েখানে ∠BAD = ১০০ ডিগ্রি হলে ∠BCE = ১৮০-১০০ = ৮০ ডিগ্রি ।

৪. ABCD সামন্তরিকের ∠B = ১০০ ডিগ্রি হলে ∠C = কত? [২২তম বিসিএস]

(ক) ১০০ ডিগ্রি (খ) ৯০ ডিগ্রি (গ) ৮০ ডিগ্রি (ঘ) ৬০ ডিগ্রি

উত্তরঃ (গ) ৮০ ডিগ্রি

Explanation:
কোনো সামন্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো সমান্তরাল হলে,তাকে সামন্তরিক বলে।সামন্তরিকের বিপরীত বাহুদ্বয় এবং বিপরীত কোণদ্বয় সমান ।
সুতরাং ∠B+ ∠D = ১০০+১০০ = ২০০
এবং ∠A+ ∠C = ৩৬০- ২০০ = ১৬০
বা, ২∠C = ১৬০
∠C = ৮০ ডিগ্রি

৫. কোন চতুর্ভুজটির কেবলমাত্র দু'টি বাহু সমান্তরাল? [৩২ তম বিসিএস]

(ক) বর্গক্ষেত্র (খ) আয়তক্ষেত্র (গ) রম্বস (ঘ) ট্রাপিজিয়াম

উত্তরঃ (ঘ) ট্রাপিজিয়াম

Explanation:
ট্রাপিজিয়াম হলো চতুর্ভুজের একটি বিশেষ রূপ। যে চতুর্ভুজের একজোড়া বাহু সমান্তরাল তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে।

৬. কোনটি সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র? [ প্রাক প্রাথমিক সহকারী-২০১৩(মিসিসিপি)]

(ক)

\frac{১}{২}

( ভূমি × উচ্চতা) (খ) দৈর্ঘ্য × প্রস্থ (গ) ২ ( দৈর্ঘ্য × প্রস্থ ) (ঘ) ভূমি × উচ্চতা

উত্তরঃ (ঘ) ভূমি × উচ্চতা

৭. যে চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো পরস্পর সমান ও সমান্তরাল, তাকে বলে? [১৯ তম বিসিএস]

(ক) সামন্তরিক (খ) রম্বস (গ) ট্রাপিজিয়াম (ঘ) আয়তচতুর্ভুজ

উত্তরঃ (ক) সামন্তরিক

Explanation:
সামন্তরিক সেই চতুর্ভুজকে নির্দেশ করে যার বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান ও সমান্তরাল। সে হিসেবে বলা যায় যে,আয়তক্ষেত্র,বর্গ,রম্বস -প্রত্যেকে এক একটি সামন্তরিক;কেননা এদের প্রত্যেকটির নিজস্ব বিপরীত বাহুদ্বয় পরস্পর সমান ও সমান্তরাল।

৮. আয়তক্ষেত্রের সন্নিহিত বাহুদ্বয় সমান হলে তাকে কি বলে? [ ৩৭ তম বিসিএস]

(ক) বর্গক্ষেত্র (খ) রম্বস (গ) সামন্তরিক (ঘ) ট্রাপিজিয়াম

উত্তরঃ (ক) বর্গক্ষেত্র

Explanation:
বর্গক্ষেত্র বলতে ৪টি সমান বাহু বা ভূজ বিশিষ্ট বহুভূজ, তথা চতুর্ভূজকে বোঝায়, যার প্রত্যেকটি অন্তঃস্থ কোণ এক সমকোণ বা নব্বই ডিগ্রীর সমান।

৯. কোন ক্ষেত্রটি সামন্তরিক ক্ষেত্র নয়? [ প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক-২০১১(গোলাপ)]

(ক) আয়তক্ষেত্র (খ) ট্রাপিজিয়াম (গ) রম্বস (ঘ) বর্গক্ষেত্র

উত্তরঃ (খ) ট্রাপিজিয়াম

১০. সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় সমান হলে সামান্তরিকটি হবে--- [২৮ তম বিসিএস/১২৩ম শিক্ষক নিবন্ধন-২০১৫]

(ক) আয়তক্ষেত্র (খ) রম্বস (গ) বর্গ (ঘ) ট্রাপিজিয়াম

উত্তরঃ (ক) আয়তক্ষেত্র

১১. চারটি সমান বাহু দ্বারা সীমাবদ্ধ একটি ক্ষেত্র যার একটি কোণও সমকোণ নয়, এরূপ চিত্রকে বলা হয়---- [১৬ তম বিসিএস]

(ক) বর্গক্ষেত্র (খ) চতুর্ভুজ (গ) রম্বস (ঘ) সামন্তরিক

উত্তরঃ (গ) রম্বস

Explanation:
রম্বস হলো সামান্তরিকের একটি বিশেষ রূপ অর্থাৎ সামান্তরিকের সন্নিহিত বাহুদ্বয় সমান হলে তখন তা রম্বস হয়ে যায়। রম্বসকে অনেক সময় ডায়মন্ড বলা হয় কারণ এটি দেখতে অনেকটা ডায়মন্ডের মত।আবার এটিকে সমবাহু চতুর্ভুজও বলা হয় কারণ এর চারটি বাহুর দৈর্ঘ্য পরস্পর সমান।

১২. কোনো চতুর্ভুজের বিপরীত কৌণিক বিন্দুর সংযোজন রেখাংশ দুটির প্রত্যেকটিকে বলে-- [ প্রাক প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক(বিটা)-২০১৪]

(ক) ভূমি (খ) কর্ণ (গ) মধ্যমা (ঘ) উচ্চতা

উত্তরঃ (খ) কর্ণ

১৩. যে চতুর্ভুজের বাহুগুলি পরস্পর সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয়, তাকে কি বলে? [প্রাক প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক(২৮.০৮.২০১৫)]

(ক) ট্র্যাপিজিয়াম (খ) আয়তক্ষেত্র (গ) সামন্তরিক (ঘ) রম্বস

উত্তরঃ (ঘ) রম্বস

১৪. একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহুর বিপরীত দুটি সমান্তরাল কিন্তু অসমান। একে বলে-- [ প্রাথমিক বিদ্যালয় সহকারী শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষা -(১৪ জেলা) (01-06-2018) ]

(ক) আয়তক্ষেত্র (খ) রম্বস (গ) ট্রাপিজিয়াম (ঘ) বর্গক্ষেত্র

উত্তরঃ (গ) ট্রাপিজিয়াম

Explanation:
ট্রাপিজিয়াম হলো চতুর্ভুজের একটি বিশেষ রূপ। যে চতুর্ভুজের একজোড়া বাহু সমান্তরাল কিন্তু অসমান তাকে ট্রাপিজিয়াম বলে।

১৫. কোন চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় সমান ও পরস্পর সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত। এটি কোন ধরনের চতুর্ভুজ হবে? [ প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক-২০০৮(মেঘনা)]

(ক) রম্বস (খ) বর্গক্ষেত্র (গ) আয়তক্ষেত্র (ঘ) ট্রাপিজিয়াম

উত্তরঃ (খ) বর্গক্ষেত্র

১৬. একটি রম্বস আঁকতে হলে কমপক্ষে কোন উপাত্তগুলোর প্রয়োজন? [ প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক-২০০৮(মেঘনা)]

(ক) দুটি বিপরীত বাহু (খ) দুটি বিপরীত কোণ (গ) কর্ণের দৈর্ঘ্য (ঘ) এক বাহু ও এক কোণ

উত্তরঃ (ঘ) এক বাহু ও এক কোণ

১৭. যে সামন্তরিকের সকল বাহু সমান, কিন্তু কোণগুলো সমকোণ নয়,তাকে বলে- [ প্রাক প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক-(২৮.০৮.২০১৫)]

(ক) রম্বস (খ) বর্গক্ষেত্র (গ) আয়তক্ষেত্র (ঘ) ট্রাপিজিয়াম

উত্তরঃ (ক) রম্বস

১৮. সামন্তরিকের বিপরীত কোণের অন্তর্দ্বিখন্ডদ্বয়-- [ প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক-২০১০(ইছামতি)]

(ক) পরস্পর সমান (খ) পরস্পর সমান্তরাল (গ) পরস্পরের উপর লম্ব (ঘ) পরস্পরের একটি বিন্দুতে ছেদ করে

উত্তরঃ (ক) পরস্পর সমান

১৯. একটি বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য a মিটার হলে, এর ক্ষেত্রফল কত? [ প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক-২০০৬(চট্রগ্রাম)]

(ক) a × a মিটার (খ)

a^{3}

মিটার (গ) a মিটার (ঘ)

a^{2}

বর্গমিটার

উত্তরঃ (ঘ) $a^{2}$ বর্গমিটার

২০. রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পর “O” বিন্দুতে ছেদ করেছে। কর্ণদ্বয়ের অন্তর্ভূক্ত কোণ --- [ প্রাথমিক প্রধান শিক্ষক-২০০৯(জবা)]

(ক) সূক্ষ্মকোণ (খ) স্থুলকোণ (গ) সরলকোণ (ঘ) সমকোণ

উত্তরঃ (ঘ) সমকোণ

Explanation:
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখন্ডিত করে। রম্বসের বিপরীত কোণগুলো পরস্পর সমান।

২১. একটি ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ৬০ বর্গমিটার এবং সমান্তরাল বাহু দুইটির মধ্যবতী লম্ব দূরত্ব ৮ মিটার।একটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ মিটার হলে অপর বাহুটির দৈর্ঘ্য হবে--- [ প্রাথমিক প্রধান শিক্ষক ২০০৯(শাপলা)]

(ক) ৭ মি. (খ) ৮ মি. (গ) ৯ মি. (ঘ) ১২ মি.

উত্তরঃ (গ) ৯ মি.

Explanation:
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = $\frac{১}{২}$ × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল × বাহুদ্বয়ের লম্ব দুরত্ব
প্রশ্নমতে, $\frac{১}{২}$ × (৬+অপর বাহু) × ৮ = ৬০
বা, (৬+অপর বাহু) × ৮ = ৬০ × ২ = ১২০
বা, ৬+অপর বাহু = ১২০ ÷ ৮ = ১৫
বা, অপর বাহু = ১৫ -৬ = ৯ মিটার

২২. কোনো ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ৪০ বর্গমিটার এবং সমান্তরাল বাহু দুইটির মধ্যবতী লম্ব দূরত্ব ৮ মিটার।একটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৬ মিটার হলে অপর বাহুটির দৈর্ঘ্য কত? [ প্রাথমিক প্রধান শিক্ষক ২০০৯(পদ্মা)]

(ক) ৪ মিটার (খ) ৬ মিটার (গ) ৮ মিটার (ঘ) ১০ মিটার

উত্তরঃ (ক) ৪ মিটার

Explanation:
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = $\frac{১}{২}$ × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল × বাহুদ্বয়ের লম্ব দুরত্ব
প্রশ্নমতে, $\frac{১}{২}$ × (৬+অপর বাহু) × ৮ = ৪০
বা, (৬+অপর বাহু) × ৮ = ৪০ × ২ = ৮০
বা, ৬+অপর বাহু = ৮০ ÷ ৮ = ১০
বা, অপর বাহু = ১০ -৬ = ৪ মিটার

২৩. একটি ট্রাপিজিয়ামের সমান্তরাল বাহু দুইটির দৈর্ঘ্য ৫ মিটার ও ৭ মিটার।এর ক্ষেত্রফল ৪৮ বর্গমিটার হলে, বাহু দুইটির মধ্যবর্তী লম্ব দূরত কত হবে? [প্রাথমিক প্রধান শিক্ষক ২০০৯(শিউলি)]

(ক) ৬ মিটার (খ) ৮ মিটার (গ) ৯ মিটার (ঘ) ১০ মিটার

উত্তরঃ (খ) ৮ মিটার

Explanation:
ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = $\frac{১}{২}$ × সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফল × বাহুদ্বয়ের লম্ব দুরত্ব
প্রশ্নমতে, $\frac{১}{২}$ × (৫ + ৭) × বাহুদ্বয়ের লম্ব দুরত্ব = ৪৮
বা, $\frac{১}{২}$ × ১২ × বাহুদ্বয়ের লম্ব দুরত্ব = ৪৮
বা, ৬ × বাহুদ্বয়ের লম্ব দুরত্ব = ৪৮
বা, বাহুদ্বয়ের লম্ব দুরত্ব = ৪৮ ÷ ৬ = ৮
সুতরাং বাহুদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্ব দুরত্ব = ৮ মিটার

২৪. একটি চতুর্ভুজ আঁকার জন্য নিচের কোন উপাত্তগুলো প্রয়োজন? [ পরিবার কল্যাণ পরিদর্শিকা প্রশিক্ষণার্থী-২০১০]

(ক) ২টি বাহু ও ২ টি কোণ (খ) ২টি কর্ণের খন্ডিত অংশসমুহ ও ১টি বাহু (গ) ৪টি বাহু ও ২টি কোণ (ঘ) ৩টি বাহু ও কর্ণ

উত্তরঃ (ঘ) ৩টি বাহু ও কর্ণ

Explanation:
চতুর্ভুজ অঙ্কন করতে নিম্নের উপাত্তগুলো জানা প্রয়োজনঃ (ক) চারটি বাহু ও একটি কোণ, (খ) চারটি বাহু ও একটি কর্ণ, (গ) তিনটি বাহু ও দুইটি কর্ণ, (ঘ) তিনটি বাহু ও তাদের অন্তর্ভুক্ত দুইটি কোণ, (ঙ) দুইটি বাহু ও তিনটি কোণ, (চ) দুইটি কর্ণের খন্ডিত অংশসমূহ ও কর্ণ দুইটির অন্তর্ভুক্ত একটি কোণ। কাজেই সঠিক উত্তর (ঘ)।

২৫. একটি চতুর্ভুজের তিন কোণের সমষ্টি ২৮০ ডিগ্রি। চতুর্থ কোণটির মান কত? [ পল্লী উন্নয়ন বোর্ডের হিসাব সহকারী-২০১৪]

(ক) ৯০ ডিগ্রি (খ) ৭০ ডিগ্রি (গ) ৮০ ডিগ্রি (ঘ) ৬০ ডিগ্রি

উত্তরঃ (গ) ৮০ ডিগ্রি

Explanation:
চতুর্ভুজের চারটি কোণের সমষ্টি ৩৬০ ডিগ্রি । সুতরাং চতুর্থ কোণটির মান = ৩৬০ - ২৮০ = ৮০ ডিগ্রি ।

২৬. চতুর্ভুজের চারটি কোণের সমষ্টি কত? [ উপ-খাদ্য পরিদর্শক-২০১২]

(ক) ৯০ ডিগ্রি (খ) ১৮০ ডিগ্রি (গ) ২৯০ ডিগ্রি (ঘ) ৩৬০ ডিগ্রি

উত্তরঃ (ঘ) ৩৬০ ডিগ্রি

২৭. চতুর্ভুজের চারটি কোণের অনুপাত ১:২:২:৩ হলে বৃহত্তম কোণের পরিমাণ কত হবে? [১১ তম শিক্ষক নিবন্ধন ও প্রত্যয়ন পরীক্ষা-২০১৪]

(ক) ১০০ (খ) ১১৫ (গ) ১৩৫ (ঘ) ২২৫

উত্তরঃ (গ) ১৩৫

Explanation:
অনুপাতের রাশিগুলোর সমষ্টি = ১+২+২+৩ = ৮
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = ৩৬০ ডিগ্রি
বৃহত্তম কোণের পরিমাণ = $\frac{৩}{৮}$ × ৩৬০ = ১৩৫ ডিগ্রি

২৮. চতুর্ভুজের চারটি কোণের অনুপাত ১:২:২:৩ হলে ক্ষুদ্রতম কোণের পরিমাণ কত হবে? [জাতীয় রাজস্ব বোর্ডের ইন্সপেক্টর-২০১০]

(ক) ৬৫ ডিগ্রি (খ) ৫৫ ডিগ্রি (গ) ৪৫ ডিগ্রি (ঘ) ৩৫ ডিগ্রি

উত্তরঃ (গ) ৪৫ ডিগ্রি

Explanation:
অনুপাতের রাশিগুলোর সমষ্টি = ১+২+২+৩ = ৮
চতুর্ভুজের চার কোণের সমষ্টি = ৩৬০ ডিগ্রি
বৃহত্তম কোণের পরিমাণ = $\frac{১}{৮}$ × ৩৬০ = ৪৫ ডিগ্রি

২৯. সামন্তরিকের দুটি সন্নিহিত কোণের একটি ১১৫ ডিগ্রি হলে, অপরটি কত? [ প্রাথমিক বিদ্যালয় সহকারী শিক্ষক-২০০১]

(ক) ৬৫ ডিগ্রি (খ) ৭৫ ডিগ্রি (গ) ৮০ ডিগ্রি (ঘ) ৮৫ ডিগ্রি

উত্তরঃ (ক) ৬৫ ডিগ্রি

Explanation:
সামন্তরিকের দুটি সন্নিহিত কোণের সমষ্টি = ১৮০ ডিগ্রি ।
অপর কোণ = ১৮০ - ১১৫ = ৬৫ ডিগ্রি

৩০. একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহুর মধ্যবিন্দু পরস্পর যুক্ত করলে কিরূপ ক্ষেত্র পাওয়া যাবে? [ ৭ম শিক্ষক নিবন্ধন ও প্রত্যয়ন পরীক্ষা-২০১১]

(ক) বর্গক্ষেত্র (খ) আয়তক্ষেত্র (গ) ট্রাপিজিয়াম (ঘ) সামন্তরিক

উত্তরঃ (ঘ) সামন্তরিক

৩১. আয়তক্ষেত্রের চারটি বাহুর মধ্যে- [ সেকেন্ডারি এডুকেশন সেক্টর ডেভেলপমেন্ট প্রোগ্রাম গবেষণা কর্মকর্তা-২০১৫]

(ক) ৪টিই সমান (খ) পাশাপাশি ২টি সমান (গ) বিপরীত দুইবাহু সমান (ঘ) সবগুলি অসমান

উত্তরঃ (গ) বিপরীত দুইবাহু সমান

৩২. বর্গক্ষেত্রের ৪টি কোণের সমষ্টি- [ সেকেন্ডারি এডুকেশন সেক্টর ডেভেলপমেন্ট প্রোগ্রাম গবেষণা কর্মকর্তা-২০১৫]

(ক) ১ সমকোণ (খ) ২ সমকোণ (গ) ৩ সমকোণ (ঘ) ৪ সমকোণ

উত্তরঃ (ঘ) ৪ সমকোণ

৩৩. একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য 4√2 একক হলে ঐ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক? [ ৩৬ তম বিসিএস]

(ক) 24 (খ) 8 (গ) 16 (ঘ) 32

উত্তরঃ (গ) 16

Explanation:
বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x হলে কর্ণের দৈর্ঘ্য x√2
সুতরাং বর্গক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x = 4
সুতরাং বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = $4^{2}$ = 16

৩৪. একটি রম্বস ক্ষেত্রের কর্ণ যথাক্রমে ৫ সে.মি. ও ৪.৫ সে.মি.। এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ সে.মি.? [উপজেলা পোস্ট মাস্টার-২০১৬]

(ক) ২.২৫ (খ) ২২.৫০ (গ) ১২.৫০ (ঘ) ১১.২৫

উত্তরঃ (ঘ) ১১.২৫

Explanation:
রম্বসের ক্ষেত্রফল = $\frac{১}{২}$ × রম্বসের কর্ণদ্বয়ের গুণফল = $\frac{১}{২}$ × ৫ × ৪.৫ = ১১.২৫

৩৫. ট্রাপিজিয়ামের দুটি সমান্তরাল বাহু a সে.মি. ও b সে.মি. । তাদের মধ্যবতী দূরত্ব সে.মি. হলে , এর ক্ষেত্রফল কত? [ ১০ম বেসরকারি শিক্ষক নিবন্ধন ও প্রত্যয়ন পরীক্ষা-২০১৪]

(ক) (a+b)h (খ) 2(a+b)h (গ)

\frac{1}{2}

× (a+b)×h (ঘ)

\frac{1}{2}

× (a-b)×h

উত্তরঃ (গ) $\frac{1}{2}$ × (a+b)×h