সম্ভাবনা (probability)- গণিত

আমরা প্রতিনিয়ত ‘সম্ভাবনা' শব্দটি ব্যবহার করে থাকি। যেমন এবার এস.এস.সি. পরীক্ষায় যাদবের পাশ করার সম্ভাবনা খুব কম, এশিয়া কাপ ক্রিকেটে বাংলাদেশের জয়ের সম্ভাবনা বেশি, আগামীকাল তাপমাত্রা বৃদ্ধি পাওয়ার সম্ভাবনা বেশি, আজ বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা কম ইত্যাদি। অর্থাৎ কোনো ঘটনা ঘটার ক্ষেত্রে অনিশ্চয়তা থাকলেই কেবল আমরা সম্ভাবনার কথা বলি। আর অনিশ্চয়তার মাত্রার উপরই ঘটনাটা ঘটার সম্ভাবনা কম বা বেশি হবে তা নির্ভর করে। কিন্তু কোনো সাংখ্যিক মান দিতে পারে না। এই অধ্যায়ে আমরা কোনো ঘটনা ঘটার সম্ভাবনার সাংখ্যিক মান নির্ণয়ের বিভিন্ন সূত্র এবং নির্ণয় প্রণালী সম্পর্কে জানবো এবং নিশ্চিত ঘটনা, অসম্ভব ঘটনা ও সম্ভাব্য ঘটনা বর্ণনা করতে পারবো।

প্রাথমিক আলোচনা
মুদ্রার সম্ভাব্যতা
ছক্কার সম্ভাব্যতা
তাসের সম্ভাব্যতা
বলের সম্ভাব্যতা

প্রাথমিক আলোচনা

Probability হলো কোন কিছু ঘটার সম্ভাবনা। যদি কোন ঘটনা ঘটার কোন প্রকার Chance না থাকে তাহলে ঐ ঘটনা ঘটার Probability হবে '0' । পক্ষান্তরে ঐ ঘটনা যদি নিশ্চিত ঘটার Chance থাকে তাহলে ঐ ঘটনা ঘটার Probability হবে 100% বা 1. তাই Probability র মান সব সময় 0 থেকে 1 এর মধ্যে থাকে ।
ধরুন, আপনার প্রিয় অভিনেতা অস্কারের জন্য মনোনীত হয়েছেন এবং সেই সাথে আরো দুজন অভিনেতা মনোনীত হয়েছেন। এখন এই তিনজনের মধ্যে আপনার প্রিয় অভিনেতার অস্কার লাভ করার Probability হল $\frac{1}{3}$
সুতরাং Probability হল একটি ভগ্নাংশ যার উপরে থাকবে ঐ ঘটনা ঘটার সংখ্যা এবং নিচে থাকবে মোট ঘটনা ঘটার সংখ্যা।
Probability = $\frac{কোন ঘটনার অনুকূলে নমুনা বিন্দুর সংখ্যা}{মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা}$

দৈব পরীক্ষা (Random Experiment) :

যখন কোনো পরীক্ষার সম্ভাব্য সকল ফলাফল আগে থেকে জানা থাকে কিন্তু পরীক্ষাটিতে কোনো একটি নির্দিষ্ট চেষ্টায় কি ফলাফল আসবে তা নিশ্চিত করে বলা যায় না, একে দৈব পরীক্ষা বলে। যেমন একটা মুদ্রা নিক্ষেপ পরীক্ষার সম্ভাব্য ফলাফল কি হবে, তা আমরা আগে থেকেই জানি কিন্তু মুদ্রাটি নিক্ষেপের পূর্বে কোন ফলাফলটি ঘটবে তা আমরা নিশ্চিত করে বলতে পারি না। সুতরাং মুদ্রা নিক্ষেপ পরীক্ষা একটা দৈব পরীক্ষা।

ঘটনা (Event):

কোনো পরীক্ষার ফলাফল বা ফলাফলের সমাবেশকে ঘটনা বলে। উদাহরণস্বরূপ, একটা ছক্কা নিক্ষেপ পরীক্ষায় 3 পাওয়া একটি ঘটনা। আবার জোড় সংখ্যা পাওয়াও একটি ঘটনা।

সমসম্ভাব্য ঘটনাবলী (Equally Likely Events):

যদি কোনো পরীক্ষার ঘটনাগুলো ঘটার সম্ভাবনা সমান হয় অর্থাৎ একটি অপরটির চেয়ে বেশি বা কম সম্ভাব্য না হয় তবে ঘটনাগুলোকে সমসম্ভাব্য বলে। যেমন একটা নিরপেক্ষ মুদ্রা নিক্ষেপে হেড বা টেল আসার সম্ভাবনা সমান। সুতরাং হেড আসা ও টেল আসা ঘটনা দুইটি সমসম্ভাব্য ঘটনা।

পরস্পর বিচ্ছিন্ন ঘটনাবলী (Mutually Exclusive Events):

কোনো পরীক্ষায় যদি একটা ঘটনা ঘটলে অন্যটা অথবা অন্য ঘটনাগুলো না ঘটতে পারে তবে উক্ত ঘটনাগুলোকে পরস্পর বিচ্ছিন্ন ঘটনা বলে। যেমন, একটা নিরপেক্ষ মুদ্রা নিক্ষেপ করলে হেড আসা বা টেল আসা দুইটি বিচ্ছিন্ন ঘটনা। কেননা হেড আসলে টেল আসতে পারে না। আবার টেল আসলে হেড আসতে পারে না। অর্থাৎ হেড ও টেল একসাথে আসতে পারে না।

অনুকূল ফলাফল (Favourable Outcomes ) :

কোনো পরীক্ষায় একটা ঘটনার স্বপক্ষের ফলাফল হলো ঘটনার অনুকূল ফলাফল। একটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে বিজোড় সংখ্যা হওয়ার অনুকূল ফলাফল 3 টি।

নমুনাক্ষেত্র (Sample Space) ও নমুনা বিন্দু (Sample Point) :

কোনো দৈব পরীক্ষার সম্ভাব্য সকল ফলাফল নিয়ে গঠিত সেটকে নমুনাক্ষেত্র বলে। একটা মুদ্রা নিক্ষেপ করলে দুইটি সম্ভাব্য ফলাফল পাওয়া যায়, যথা হেড ও টেল। এখন S দ্বারা এ পরীক্ষণের ফলাফলের সেটকে সূচিত করলে আমরা লিখতে পারি S = {H,T}। সুতরাং উক্ত পরীক্ষার নমুনাক্ষেত্র, S = {H,T}। মনে করা যাক দুইটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করা হলো। তাহলে নমুনাক্ষেত্রটি হবে S = {HH, HT, TH,TT}। নমুনাক্ষেত্রের প্রতিটি উপাদানকে ফলাফলের নমুনা বিন্দু বলে। একটা মুদ্রা একবার নিক্ষেপ পরীক্ষায় নমুনাক্ষেত্র S = {H,T} এবং এখানে H,T প্রত্যেকেই এক একটা নমুনা বিন্দু ।

Note: সবসময় মনে রাখতে হবে যে কোন ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা ০ ও ১ এর মধ্যেই সীমাবদ্ধ থাকবে। কোন ঘটনা নিশ্চিতভাবে ঘটলে তার মান হবে ১ এবং নিশ্চিতভাবে না ঘটলে তার মান হবে ০ ।

মুদ্রার সম্ভাব্যতা

একটি মুদ্রার দুটি পার্শ, একটি H = Head, এবং অপরটি T = Tail.

১. একটি মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করলে head পড়ার Probability কত? ...

(ক)

\frac{1}{2}

(খ)

\frac{1}{3}

(গ)

\frac{1}{4}

(ঘ)

\frac{1}{5}

উত্তরঃ (ক) $\frac{1}{2}$

Explanation:
একটি মুদ্রা ১ বার নিক্ষেপ করলে আমরা ১ বারই Head পড়তে দেখবো। তাই Probability ভগ্নাংশের উপরের সংখ্যা হবে ১। আবার একবার মুদ্রা নিক্ষেপ করলে দুটি সম্ভাব্য ফলাফল পাওয়া যেতে পারে। যথা Head অথবা Tail. তাই মোট সম্ভাব্য ফলাফল সংখ্যা হবে ২। সুতরাং Head পড়ার Probability $\frac{1}{2}$

Note: একটি মুদ্রার যেহেতু ২টি দিক তাই মুদ্রা নিক্ষেপের ক্ষেত্রে, যতবার মুদ্রা নিক্ষেপ করা হবে, '2' এর উপর ততটি Power দিলে । Total Outcome বা মোট ফলাফল পাওয়া যাবে। যেমন একটি মুদ্রা ২ বার নিক্ষেপ করলে মোট ফলাফল হবে $২^{২}$ = ৪ টি। ৩ বার নিক্ষেপ করলে মোট ফলাফল হবে = $২^{৩}$ = ৮টি।

২. একটি মুদ্রা দু'বার নিক্ষেপ করা হলে নমুনা ক্ষেত্র কি হবে?
2 বার নিক্ষেপ করলে নমুনাক্ষেত্র = (HH, HT, TH, TT), তখন নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = $2^{2}$ = 4
এই ফলাফল গুলো কিভাবে বের করতে হয়?
সেট অধ্যায়ে পাওয়ার সেট বের করার নিয়মে হিসেব করতে হয়। যেমন:
দুবার নিক্ষেপ করা হলে, (H, T ) × (H,T) = { HH } , { HT} , {TH} ,{TT}
আবার তিনবার নিক্ষেপ করা হলে, (H, T ) × (H,T) × (H,T) = { HHH } , {HHT} {HTT} , {HTH}, {THH} ,{TTH} , {THT}, {TTT}

৩. একটি মুদ্রা ২ বার নিক্ষেপ করলে ২ বারই Head পড়ার Probability কত?
ব্যাখ্যাঃ ২ বার নিক্ষেপ করলে মোট ফলাফল হবে $২^{২}$ = ৪ টি। যেমন: 1. HH 2. HT 3. TH 4. TT এখন এই চারটি ফলাফলের মধ্যে দুবারই Head পড়ার সম্ভাবনা হবে ১টি। তাই উত্তর: $\frac{1}{4}$

৪. দুইটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করা হলে প্রথম মুদ্রায় H এবং ২য় মুদ্রায় T আসার সম্ভাবনা কত? [ সরকারি মাধ্যমিক বিদ্যালের সহ: শিক্ষক: ২০০৬ ]

(ক)

\frac{১}{৪}

(খ)

\frac{১}{৩}

(গ)

\frac{১}{২}

(ঘ) ১

উত্তরঃ (ক) $\frac{১}{৪}$

Explanation:
দুইটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করা হলে মোট ফলাফল = $২^{২}$ = ৪টি
ফলাফল গুলো হলো HH, HT, TH, TT = ৪ টি
ফলাফলগুলোর মধ্যে প্রথমটিতে H এবং পরেরটিতে T আছে কেবল একটিতে = HT
সুতরাং প্রথম H এবং পরের মুদ্রায় T আসার সম্ভাবনা = $\frac{১}{৪}$

৫. একটি মুদ্রা ২ বার নিক্ষেপ করলে অন্তত ১ বার Head পড়ার সম্ভাবনা কত?
ব্যাখ্যা: মোট ফলাফল = 4 টি। যেখানে 3 টিতেই অন্তত একবার Head আসবে, এবং ১ বার সবগুলোই Tail আসবে। তাই উত্তর: $\frac{৩}{৪}$

৬. একটি মুদ্রা ৩ বার নিক্ষেপ করা হলে তিনটি মুদ্রায় Head পাবার সম্ভাবনা কত?
ব্যাখ্যাঃ মুদ্রা ৩ বার নিক্ষেপ করলে মোট ফলাফল ৮ এবং শুধুমাত্র একভাবেই তিন বারই Head পড়তে পারে। তাই উত্তর $\frac{১}{৮}$

৭. একটি মুদ্রা ৩ বার নিক্ষেপ করা হলে তিনটি মুদ্রায় Tail পাবার সম্ভাবনা কত?
ব্যাখ্যাঃ Head এর মতই শুধু এক ক্ষেত্রে তিন বারই Tail আসতে পারে। তাই উত্তর হবে। $\frac{১}{৮}$

৮. যদি ২টি মুদ্রা নিক্ষেপ করা হয় তাহলে একটা head এবং অন্যটি tail উঠার সম্ভাবনা কত? [ Pubali Bank Ltd. SO 2013 ]

(ক)

\frac{1}{2}

(খ)

\frac{1}{3}

(গ)

\frac{1}{4}

(ঘ)

\frac{1}{5}

উত্তরঃ (গ) $\frac{1}{4}$

Explanation:
মোট ফলাফল = { HH, TT, TH, HT} এবং অনুকুল ফলাফল = { HT } একটি coin toss করলে head/ tail পাবার Probability দুইটির জন্য = $\frac{1}{2} × \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

ছক্কার সম্ভাব্যতা:

একটি ছক্কার মোট ছয়টি পার্শ্ব থাকায়, ছক্কাটি একবার নিক্ষেপ করলে মোট ফলাফল হবে ৬ টি। আবার ছক্কাটি একাধিক বার নিক্ষেপ করা হলে ৬ এর উপর তত Power দিলে মোট ফলাফল পাওয়া যাবে। যেমন: ছকাটি ২ বার নিক্ষেপ করলে মোট ফলাফল হবে $৬^{২}$ = ৩৬টি । ছক্কাটি ৩ বার নিক্ষেপ করলে ছোট ফলাফল হবে = $৬^{৩}$ = ২১৬টি

৯. একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করলে উপরের পিঠে ৩ আসার সম্ভাবনা কত?
ব্যাখ্যা: ১ বার নিক্ষেপ করলে মোট ফলাফল ৬ টি। ৩ আসতে পারে শুধু একবার তাই উত্তর হবে $\frac{1}{6}$

১০. একটি ছক্কা নিক্ষেপ পরীক্ষায় উপরের পিঠে জোড় সংখ্যা আসার সম্ভাবনা কত?
ব্যাখ্যা: ছক্কায় মোট জোড় সংখ্যা থাকে ৩টি (২, ৪, ৬) সুতরাং উত্তরটি হবে। $\frac{3}{6}$ = $\frac{1}{2}$ [ সম্ভাব্যতার প্রশ্নে যে ভগ্নাংশই উত্তর আসুক না কেন, তাকে লঘিষ্ঠ আকারে লিখতে হয়। ]

১১. একটি ছক্কা ২ বার নিক্ষেপ করা হল। উপরের পিঠে একই সংখ্যা আসার সম্ভাবনা কত?
ব্যাখ্যা : ছক্কাকে ২ বার নিক্ষেপ করলে মোট ফলাফল হবে, $৬^{২}$ = ৩৬টি। আবার একই সংখ্যা আসতে পারে ৬ বার যেমন ২ বারই ১, ২ বারই ২. .........২ বারই ৫, ২ বারই ৬। সুতরাং উত্তরটি হবে $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

১২. একটি ছক্কা ৩ বার নিক্ষেপ করা হল। উপরের পিঠে একই সংখ্যা আসার সম্ভাবনা কত?
ব্যাখ্যাঃ ছক্কাকে ৩ বার নিক্ষেপ করলে মোট ফলাফল হবে $৬^{৩}$ = ২১৬, এবং প্রতিবারই একই সংখ্যাগুলো হতে পারে, প্রতিবারই ১ , অথবা প্রতিবারই ২ , অথবা ৩ অথবা ৪ অথবা ৫ অথবা ৬। অর্থাৎ মোট ছয়বার প্রতিক্ষেত্রে একই সংখ্যা আসতে পারে। এখন উত্তরটি হবে $\frac{6}{216} = \frac{1}{36}$

১৩. একটি ছক্কা ১ বার নিক্ষেপ করলে ২ বা ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা আসার সম্ভাবনা কত?
ব্যাখ্যাঃ ১ বার নিক্ষেপ করলে মোট ফলাফল = ৬টি। তা থেকে ২ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা হবে ২টি (২, ৪ ও ৬) আবার ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা হবে ২টি (৩ ও ৬), সুতরাং ২ ও ৩ দিয়ে বিভাজ্য সংখ্যা হল (২.৩.৪ এবং ৬) তাই উত্তরটি হবে = $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Note: প্রশ্নে ২ এবং ৩ বলা থাকলে? তখন শুধু ১টি ফলাফল হতো শুধু ৬। উত্তর হতো $\frac{১}{৬}$

১৪. ২০. একটি নিরপেক্ষ ছক্কা ও একটি মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করা হলে ছক্কার ৫ এবং মুদ্রার H সম্ভাবনা কত? [ পরিবেশ অধিদপ্তরের সহকারী পরিচালক : ২০০৬ ]

(ক)

\frac{১}{২}

(খ)

\frac{১}{৪}

(গ)

\frac{৫}{১২}

(ঘ)

\frac{১}{১২}

উত্তরঃ (ঘ) $\frac{১}{১২}$

Explanation:
একটি ছক্কা ও একটি মুদ্রা নিক্ষেপ পরীক্ষাকে দুইধাপ হিসেবে বিবেচনা করি। প্রথম ধাপে হকা নিক্ষেপে ৬ টি ফ (১,২,৩,৪,৫,৬) আসতে পারে। দ্বিতীয় ধাপে মুদ্রা নিক্ষেপে ২টি ফলাফল (H অথবা T) আসতে পারে।
তাহলে নমুনা ক্ষেত্রটি হবে [ 1H, IT, 2H , 2T, 3H, 3T, 4H, 4T, 5H, 5T, 6H, 6T ]
এখানে মোট নমুনা বিন্দু ১২ টি। সুতরাং ছক্কায় ৫ এবং মুদ্রায় H আসার সম্ভাবনা P(5H) = $\frac{১}{১২}$

তাসের সম্ভাব্যতা

একটি তাসের প্যাকেটে মোট ৫২ টি তাস থাকে। যাদের মোট চারটি ভাগে ভাগ করা যায়, যথা:

হরতন	রুইতন	ইস্কাপন	চিড়া
Hearts	Diamonds	Spades	Clubs
১৩ টি ( ১টি রাজা ও ১টি রাণী )	১৩ টি ( ১টি রাজা ও ১টি রাণী )	১৩ টি ( ১টি রাজা ও ১টি রাণী )	১৩ টি ( ১টি রাজা ও ১টি রাণী )
প্রত্যেক ভাগে মোট ১৩ টি করে কার্ড থাকে এবং এই ১৩টির মধ্যে ১টি করে রাজা ও একটি করে রাণী থাকে।

১৫. এক প্যাকেট তাস থেকে দৈবভাবে ১টি তাস নিলে তা রাজা হওয়ার Probability কত?
ব্যাখ্যা: এক প্যাকেট তাসের মধ্যে যেহেতু মোট ৫২ টি তাস থাকে যার মধ্যে ৪টি রাজা, তাই একটি ভাগ নিলে রাজা হওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{4}{52}$ বা $\frac{1}{13}$

১৬. এক প্যাকেট কার্ড থেকে একটি রাজা নেবার পর আবার একটি কার্ড নেয়া হল, পরবর্তী কার্ডটি Hearts এর রাজা হওয়ার সম্ভাবনা কত?
ব্যাখ্যা: প্রথমেই একটি রাজা নেয়াতে আর কার্ড থাকল ৫১টি সেখানে আরো তিনটি রাজা থাকলেও Hearts এর রাজা আছে মাত্র ১ টি । তাই উত্তর $\frac{১}{৫১}$

১৭. ১ প্যাকেট তাস থেকে দৈবভাবে একটি তাস নেয়া হল। তাসটি হরতন হওয়ার সম্ভাবনা কত? [ কর্মসংস্থান ও প্রশিক্ষণ বুরোর উপপরিচালক : ২০০৭ ]
১টি প্যাকেট বা ৫২টি তাসের মধ্যে হরতন থাকে মোট ১৩টি।
সুতরাং, হরতন হওয়ার সম্ভাবনা = $\frac{১৩}{৫২} = \frac{১}{৪}$

১৮. এক প্যাকেট তাস থেকে দৈবভাবে 2 টি তাস নেয়া হল। তাস দুটি রাজা হওয়ার সম্ভাবনা কত? [ সোনালী ব্যাংক অফিসার: ২০১৫ ]
সমাধান: ২টি তাস নেয়ার কথা বলায় এখানে সমাবেশের সূত্র প্রয়োগ করতে হবে)
একটি প্যাকেটে তাস আছে ৫২টি। ৫২টি তাস থেকে ২টি ভাগ নেয়ার মোট উপায় $52_{c_{2}}$ = $\frac{52×51}{2×1}$ = 1326
আবার রাজা আছে ৪টি। এখন ৪টি থেকে ২টি নেয়ার উপায় = $4_{c_{2}}$ = $\frac{4×3}{2×1}$ = 6
সুতরাং সম্ভাবনা = $\frac{6}{1326}$ = $\frac{1}{221}$

বলের সম্ভাব্যতা

Suggestion: এ অংশে বিভিন্ন .মার্বেল, ফল, ফলের অংকের সম্ভাব্যতা যাচাই করা হয়েছে। সমাবেশ অধ্যায়ের অনেক অংকের সাথে এই অংশের অনেক মিল থাকায় এগুলো করার আগে সমাবেশ অধ্যায় শিখে আসার পরামর্শ রইলো।

১৯. একটি Box-এ 6 টি white marbles আছে, সেখান হতে ১টি Black marbel তোলার সম্ভাবনা কত?
ব্যাখ্যা: সাদা মার্বেলের বক্স থেকে কালো মার্বেল পাওয়ার সম্ভাবনা নেই। তাই উত্তর: ০

২০. একটি পাত্রে ৫টি সাদা মোজা ও ৬টি কালো মোজা আছে, অন্ধকারে মোট কয়টি মোজা তুললে নিশ্চিতভাবে বলা যাবে যে, তাদের মধ্যে একটি সাদা মোজা আছে?
ব্যাখ্যা: মোট ছয়টি মোজা তুললেও ৬টিই কালো হতে পারে। কিন্তু ৭ম বার মোজা তোলার পর অবশ্যই তা সাদা মোজা হবে। কেননা মোট ৬টি কালো মোজা সেই পাত্রে ছিল।

২১. রাকিবের পকেটে ২টি লাল, ৩টি নীল, ৫টি কালো ও ৮টি সবুজ মার্বেল আছে। কমপক্ষে কতটি মার্বেল নিলে প্রত্যেক রংয়ের অন্তত ১টি করে হলেও মার্বেল পাবে?
ব্যাখ্যা: মোট মার্বেলের সংখ্যা = ২+৩+৫+৮ = ১৮টি এর মধ্যে সবথেকে কম মার্বেলের সংখ্যা থেকে ১টি মার্বেল নিয়ে বাকী সবগুলো মার্বেল নেয়ার পর নিশ্চিতভাবে বলা সম্ভব হবে যে প্রতি রংয়ের একটি করে মার্বেল পাওয়া যাবে। সুতরাং মার্বেল নিতে হবে = ৮+৫+৩+১ = ১৭টি (কেননা ১৬টি মার্বেল নেয়ার পর ও নিশ্চিত হওয়া সম্ভব নয় )

২২. একটি ঝুড়িতে ৬টি আপেল এবং ৩টি কমলা আছে। কমপক্ষে একটি কমলা পেতে কতগুলো ফল তুলতে হবে? [ M.T.B.L. OFF: 13 ]
Solution: ১টি আপেল ও ৩টি কমলার মধ্যে ৬টি আপেল তুলে নিয়ে আর ১টি উঠালেই কমলা পাওয়া যাবে।
সুতরাং কমপক্ষে ১টি কমলাসহ মোট ফল উঠাতে হবে (৬+১) = ৭টি

২৩. একটি থলিতে ১২ টি নীল বল, ১৪ টি সাদা বল এবং ২২ টি কালো বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তুললে সেটি নীল না হবার সম্ভাবনা কত? [ অগ্রনী ব্যাংক সিনিয়র অফিসার ২০১৪ ]
সমাধান: থলিতে মোট বল আছে = ১২+১৪+২২ = ৪৮টি এবং নীল বল আছে ১২ টি।
নীল বল উঠার সম্ভাবনা = $\frac{১২}{৪৮} = \frac{১}{৪}$
তাহলে নীল বল না উঠার সম্ভাবনা = $১ - \frac{১}{৪} = \frac{৩}{৪}$

২৪. একটি থলিতে 6 টি নীল বল, ৪ টি সাদা বল এবং 10 টি কালো বল আছে। দৈবভাবে একট বল তুললে সেটি সাদা না হবার সম্ভাবনা কত? [ ৩৭-তম বিসিএস প্রিলি ]
ব্যাখ্যা: মোট বলের সংখ্যা = ৬+৮+১০ = ২৪টি। তাই দৈবভাবে বল নিলে মোট ফলাফল ২৪টি। এখন সাদা বল না হওয়ার ঘটনা বা ফলাফল হবে ৬+১০ = ১৬টি (কারণ ১৬ বার নীল ও কালো বল উঠতে পারে) তাহলে উত্তর $\frac{১৬}{২৪} = \frac{২}{৩}$