ভেনচিত্র , সেট ও ফাংশন

সেট শব্দটি আমাদের সুপরিচিত যেমন: ডিনার সেট, স্বাভাবিক সংখ্যার সেট, মূলদ সংখ্যার সেট ইত্যাদি। আধুনিক হাতিয়ার হিসাবে সেটের ব্যবহার ব্যাপক। জার্মান গণিতবিদ জর্জ ক্যান্টর (১৮৪৫ - ১৯১৮) সেট সম্পর্কে প্রথম ধারণা ব্যাখ্যা করেন। তিনি অসীম সেটের ধারণা প্রদান করে গণিত শাস্ত্রে আলোড়ন সৃষ্টি করেন এবং তাঁর সেটের ধারণা সেট তত্ত্ব নামে পরিচিত। এই আর্টিকেলে সেটের ধারণা ব্যবহার করে গাণিতিক যুক্তি ও চিত্রের মাধ্যমে সমস্যা সমাধান এবং ভেনচিত্র সম্পর্কে স্পষ্ট ধারণা দেওয়া হবে ইনশাআল্লাহ।

প্রাথমিক আলোচনা
সেট প্রকাশের পদ্ধতি
বিভিন্ন ধরনের সেট
উপসেট সংখ্যা নির্ণয়
সেট এর সাধারণ প্রশ্নসমূহ
ভেনচিত্রের সাধারণ প্রশ্ন

প্রাথমিক আলোচনা

সেটের ধারণা (Concept):
সেটের প্রথম ধারণা দেন জার্মান গণিতবিদ জর্জ ক্যান্টর (১৮৪৫ - ১৯১৮) । তাকে সেট থিওরীর জনক বলা হয় ।

সেটের সংজ্ঞা (Definition):
বাস্তব বা চিন্তা জগতের সু-সংজ্ঞায়িত বস্তুর সমাবেশ বা সংগ্রহকে সেট বলে। সেট সাধারণত ইংরেজি বড় হাতের অক্ষর দ্বারা নির্দেশ করে । উপাদানকে ইংরেজি অক্ষরে লিখলে ছোট হাতের অক্ষর দ্বারা লেখতে হয়। সেটের উপাদান সমূহকে সাধারণত দ্বিতীয় বন্ধনীর মধ্যে রাখা হয়। সেটকে সাধারণত “{}” দ্বারা প্রকাশ করা হয় এবং উপাদানগুলোকে আলাদা করার জন্য কমা ব্যবহার করা হয় ।
যেমন: A = {a,b,c} এখানে A হচ্ছে একটি সেট এবং a,b,c হবে A সেটের সদস্য বা উপাদান ।

সদস্য বা উপাদান (Elements): সেটের ভিতরে যে সকল জিনিস বা বস্তু ব্যবহার করা হয় উহাদেরকে সেটের উপাদান বলা হয়।

কিছু গুরুত্বপূর্ণ চিহ্ন সেটের প্রশ্নগুলোর সমাধান করার জন্য যাদের ব্যাবহার জানা জরুরী।
যেমন: A = { 1,2,3,4} এখানে A সেটের উপদানগুলো হলো 1,2,3,4 ∪ = Union (সংযোগ সেট) ∩ = Intersection (ছেদ সেট) ⊆ = Subset (উপসেট) ⊂ = Proper Subset (প্রকৃত উপসেট)	∈ = belongs to (ভিতরে থাকে) ∉ = Not belongs to (ভিতরে থাকে না) “:” = such that ( যেন )

উপসেট (Subset):
যদি A সেটের প্রত্যেক উপাদান B সেটের উপাদান হয়, তবে A কে B এর উপসেট বলে এবং এদেরকে প্রকাশ করা যায় A ⊂ B প্রতীকে, A ⊂ B দ্বারা বোঝায় A, B এর উপসেট। যেমন: A = {4,6,8}, B = {1,2,3,4,5,6,7,8} হলে A ⊂ B, B এর একটি উপসেট।

একটি সেটের ভিতরে যতগুলো উপাদান থাকে উহাদের দ্বারা পৃথক পৃথক ভাবে গঠিত সেটকে উপসেট বলে।

সেট প্রকাশের পদ্ধতি

সেটকে দুই পদ্ধতিতে প্রকাশ করা হয়। যথা: তালিকা পদ্ধতি (Roster Method বা Tabular Method) ও সেট গঠন পদ্ধতি (Set Builder Method)।
তালিকা পদ্ধতি: এ পদ্ধতিতে সেটের সকল উপাদান সুনির্দিষ্টভাবে উল্লেখ করে দ্বিতীয় বন্ধনী {} এর মধ্যে আবদ্ধ করা হয় এবং একাধিক উপাদান থাকলে 'কমা' ব্যবহার করে উপাদানগুলোকে আলাদা করা হয়। যেমন, A = {a, b}, B = {2, 4, 6}, C = {নিলয়, তিশা, শুভ্ৰা} ইত্যাদি।

সেট গঠন পদ্ধতি : এ পদ্ধতিতে সেটের সকল উপাদান সুনির্দিষ্টভাবে উল্লেখ না করে উপাদান নির্ধারণের জন্য সাধারণ ধর্মের উল্লেখ থাকে। যেমন: A {x : x = স্বাভাবিক বিজোড় সংখ্যা }, B {x: x = নবম শ্রেণির প্রথম পাঁচজন শিক্ষার্থী} ইত্যাদি। এখানে, : দ্বারা ‘এরূপ যেন' বা সংক্ষেপে 'যেন' (such that) বোঝায়। যেহেতু এ পদ্ধতিতে সেটের উপাদান নির্ধারণের জন্য শর্ত বা নিয়ম (Rule) দেওয়া থাকে, এ জন্য এ পদ্ধতিকে Rule Method ও বলা হয়।

বিভিন্ন ধরনের সেট

এ পর্যায়ে আমরা বিভিন্ন ধরনের সেট সম্পর্কে অবগত হব। নতুবা বিগত সালের প্রশ্ন অনুশীলন বা সমাধান করার সময় স্পষ্ট ধারণা লাভ করতে পারব না । কাজেই এই অংশটি মনোযোগ দিয়ে পড়ার পরামর্শ রইলো।

সসীম সেট ও অসীম সেট

সসীম সেট (Finite Set) :
যে সেটের উপাদান সংখ্যা গণনা করে নির্ধারণ করা যায়, তাকে সসীম সেট বলে। যেমন, D = {x, y, 2}, E = {3, 6, 9, ..... 60}, F = {x : x মৌলিক সংখ্যা এবং 30 < x < 70} ইত্যাদি সসীম সেট। এখানে, D সেটে 3টি, E সেটে 20 টি এবং F সেটে 9 টি উপাদান আছে।

অসীম সেট (Infinite Set) :
যে সেটের উপাদান সংখ্যা গণনা করে শেষ করা যায় না, তাকে অসীম সেট বলে। যেমন, A = {x : x বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা}, স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N = {1,2,3,4, ...}, পূর্ণসংখ্যার সেট Z = ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ,....}, মূলদ সংখ্যার সেট Q = { $\frac{a}{b}$ : a ও b পূর্ণসংখ্যা এবং b ≠ 0}, বাস্তব সংখ্যার সেট R ইত্যাদি অসীম সেট।

ফাঁকা সেট , ভেনচিত্র , উপসেট ও প্রকৃত উপসেট

ফাঁকা সেট (Empty Set): যে সেটের কোনো উপাদান নেই তাকে ফাঁকা সেট বলে। ফাঁকা সেটকে ∅ দ্বারা প্রকাশ করা হয়। যেমন: হলি ক্রস স্কুলের তিনজন ছাত্রের (পুরুষ) সেট, { x∈N : 10 < x < 11}, {x ∈ N : মৌলিক সংখ্যা এবং 23 < x < 29} ইত্যাদি।

ভেনচিত্র (Venn Diagram) : জন ভেন (১৮৩৪-১৯২৩) সেটের কার্যবিধি চিত্রের সাহায্যে প্রকাশ করেন। এতে বিবেচনাধীন সেটগুলোকে সমতলে অবস্থিত বিভিন্ন আকারের জ্যামিতিক চিত্র যেমন আয়ত, বৃত্ত এবং ত্রিভুজ ব্যবহার করা হয়। জন ভেনের নামানুসারে চিত্রগুলো ভেন চিত্র নামে পরিচিত।

উপসেট (Subset): A = {a,b} একটি সেট। এই সেটের উপাদান থেকে {a, b}, {a}, {b} সেটগুলো গঠন করা যায়। আবার, কোনো উপাদান না নিয়ে Ø সেট গঠন কর যায়। এখানে, গঠিত {a, b}, {a}, {b}, Ø প্রত্যেকটি A সেটের উপসেট। সুতরাং কোনো সেট থেকে যতগুলো সেট গঠন করা যায়, এদের প্রত্যেকটি সেটকে ঐ সেটের উপসেট বলা হয়। উপসেটের চিহ্ন ⊆। যদি B সেট A এর উপসেট হয় তবে B ⊆ A লেখা হয়। B, A এর উপসেট অথবা B is a subset of A। উপরের উপসেটগুলোর মধ্যে {a, b} সেট A এর সমান। প্রত্যেকটি সেট নিজের উপসেট। আবার, যেকোনো সেট থেকে Ø সেট গঠন করা যায়। সুতরাং Ø সেট যেকোনো সেটের উপসেট। ধরি P = {1,2,3} এবং Q {2,3}, R = {1,3} তাহলে P, Q এবং R প্রত্যেকে P এর উপসেট। অর্থাৎ P⊆P, P⊆Q, P⊆R.

প্রকৃত উপসেট (Proper subset) : কোনো সেট থেকে গঠিত উপসেটের মধ্যে যে উপসেটগুলোর উপাদান সংখ্যা প্রদত্ত সেটের উপাদান সংখ্যা অপেক্ষা কম এদেরকে প্রকৃত উপসেট বলে। যেমন, A = { 3, 4, 5, 6} এবং B = (3,5) দুইটি সেট। এখানে, B এর সব উপাদান A সেটে বিদ্যমান এবং B সেটের উপাদান সংখ্যা A সেটের উপাদান সংখ্যা থেকে কম। .:. B, A এর একটি প্রকৃত উপসেট এবং B ⊆ A লিখে প্রকাশ করা হয়। উপসেটের উদাহরণে Q ও R প্রত্যেকে P এর প্রকৃত উপসেট। উল্লেখ্য ফাঁকা সেট বা Ø যেকোনো সেটের প্রকৃত উপসেট।

ছেদ সেট ও সংযোগ সেট

ছেদ সেট (Intersection of Sets ): দুই বা ততোধিক সেটের সাধারণ উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে ছেদ সেট বলে। মনে করি, A ও B দুইটি সেট। A ও B এর ছেদ সেটকে A ∩ B দ্বারা প্রকাশ করা হয় এবং পড়া হয় A ছেদ B বা A intersection B। সেট গঠন পদ্ধতিতে A ∩ B = {x : x ∈ A এবং x ∈ B} ।

সংযোগ সেট (Union of Sets ): দুই বা ততোধিক সেটের সকল উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে সংযোগ সেট বলা হয়। মনে করি, A ও B দুইটি সেট। A ও B সেটের সংযোগকে AUB দ্বারা প্রকাশ করা হয় এবং পড়া হয় A সংযোগ B ও অথবা A Union B। সেট গঠন পদ্ধতিতে AUB = {x : x ∈ A অথবা x ∈ B}।

পূরক সেট , সংযোগ সেট , শক্তি সেট ও নিশ্ছেদ সেট

পূরক সেট (Complement of a Set) : U সার্বিক সেট এবং A সেটটি U এর উপসেট। A সেটের বহির্ভূত সকল উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে A সেটের পূরক সেট বলে। A এর পূরক সেটকে $A^{c}$ বা A' দ্বারা প্রকাশ করা হয়। গাণিতিকভাবে $A^{c}$ = U\A . মনে করি, P ও Q দুইটি সেট এবং P সেটের যেসব উপাদান Q সেটের উপাদান নয়, ঐ উপাদানগুলোর সেটকে P এর প্রেক্ষিতে Q এর পূরক সেট বলা হয় এবং লেখা হয় $Q^{c}$ = P\Q

সার্বিক সেট (Universal Set): আলোচনায় সংশ্লিষ্ট সকল সেট একটি নির্দিষ্ট সেটের উপসেট। যেমন: A = {x, y} সেটটি B = {x,y,z} এর একটি উপসেট। এখানে, B সেটকে A সেটের সাপেক্ষে সার্বিক সেট বলে। সুতরাং আলোচনা সংশ্লিষ্ট সকল সেট যদি একটি নির্দিষ্ট সেটের উপসেট হয় তবে ঐ নির্দিষ্ট সেটকে তার উপসেটগুলোর সাপেক্ষে সার্বিক সেট বলে। সার্বিক সেটকে সাধারণত U দ্বারা প্রকাশ করা হয়। তবে অন্য প্রতীকের সাহায্যেও সার্বিক সেট প্রকাশ করা যায়। যেমন: সকল জোড় স্বাভাবিক সংখ্যার সেট C = {2, 4, 6, ...} এবং সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, } হলে C সেটের সাপেক্ষে সার্বিক সেট হবে N .

শক্তি সেট (Power Sets ) : A = {m,n} একটি সেট। A সেটের উপসেটসমূহ হলো {m,n}, {m}, {n}, Ø; এখানে উপসেটসমূহের সেট {{m,n}, {m}, {n},} কে A সেটের শক্তি সেট বলা হয়। A সেটের শক্তি সেটকে P(A) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। সুতরাং কোনো সেটের সকল উপসেট দ্বারা গঠিত সেটকে ঐ সেটের শক্তি সেট বলা হয়।

নিশ্ছেদ সেট (Disjoint Set) : দুইটি সেটের মধ্যে যদি কোনো সাধারণ উপাদান না থাকে তবে সেট দুইটিকে পরস্পর নিশ্ছেদ সেট বলে। মনে করি, A ও B দুইটি সেট। A ∩ B = Ø হলে A ও B পরস্পর নিশ্ছেদ সেট হবে।

সেটের সমতা ও অন্তর

সেটের সমতা (Equivalent Set) : দুইটি সেটের উপাদান একই হলে, সেট দুইটিকে সমান বলা হয়। যেমন: A = { 3, 5, 7} এবং B = {5,3,3,7} দুইটি সমান সেট এবং A = B চিহ্ন দ্বারা লেখা হয়। লক্ষ করি A = B যদি এবং কেবল যদি A ⊆ B এবং B ⊆ A হয়। আবার, A = {3, 5, 7}, B = {5, 3, 3, 7} এবং C = { 7, 7, 3, 5, 5 } হলে A, B ও C সেট তিনটি সমতা বোঝায়। অর্থাৎ, A = B = C দ্রষ্টব্য : সেটের উপাদানগুলোর ক্রম বদলালে বা কোনো উপাদান পুনরাবৃত্তি করলে সেটের কোনো পরিবর্তন হয় না।

সেটের অন্তর (Difference of Sets ) মনে করি, A = {1,2,3,4,5} এবং B = {3,5}। সেট A থেকে সেট B এর উপাদানগুলো বাদ দিলে যে সেটটি হয় তা {1, 2, 4} এবং লেখা হয় A\ B বা A- B এবং পড়া হয় A বাদ B . সুতরাং A - B = {1, 2, 3, 4, 5} - {3, 5} = {1,2,4}

কার্তেসীয় গুণজ (Cartesian Product ) :

করিম সাহেব তাঁর বাড়ির একটি ঘরের ভিতরের দেওয়ালে সাদা বা নীল রং এবং বাইরের দেওয়ালে লাল বা হলুদ বা সবুজ রং এর লেপন দেওয়ার সিদ্ধান্ত নিলেন। ভিতরের দেওয়ালে রং এর সেট A = {সাদা, নীল} এবং বাইরের দেওয়ালে রং এর সেট B = {লাল, হলুদ ও সবুজ}। করিম সাহেব তাঁর ঘরের রং লেপন (সাদা, লাল), (সাদা, হলুদ), (সাদা, সবুজ), (নীল, লাল), (নীল, হলুদ), (নীল, সবুজ) ক্রমজোড় আকারে দিতে পারেন। উক্ত ক্রমজোড়ের সেটকে নিচের মতো করে লেখা হয়: A × B = {(সাদা, লাল), (সাদা, হলুদ), (সাদা, সবুজ), (নীল, লাল), (নীল, হলুদ), (নীল, সবুজ)} উপরোক্ত ক্রমজোড়ের সেটটিকেই কার্তেসীয় গুণজ সেট বলা হয়। সেট গঠন পদ্ধতিতে, A x B = {(x, y) : x ∈ A এবং y ∈ B } A × B কে পড়া হয় A ক্রস B।

উপসেট সংখ্যা নির্ণয়

উপসেট নির্ণয়ের পদ্ধতি (খুবই গুরুত্বপূর্ণ )
সূত্র: $2^{n}$ এখানে n হলো উপাদান সংখ্যা। অর্থাৎ যতগুলো উপাদান থাকে 2 এর উপর বসে । যেমন: একটি সেটের উপাদান সংখ্যা 2 হলে তার উপসেট হবে $2^{2}$ = 4, আবার 3 টি উপাদান হলে উপসেট হবে $2^{3}$ = 8 টি ।
১. কোন সেটের যতগুলো উপসেট হয় তাদের সেটকে উক্ত সেটের কি বলা হয়? [ স্বাস্থ্য অধিদপ্তরের স্বাস্থ্য সহকারী ২০০৪]
উত্তর: পাওয়ার সেট

২. n উপাদানবিশিষ্ট একটি প্রদত্ত সেটের উপসেটের সংখ্যা কত হবে? [তথ্য মন্ত্রণালয়ের অধীনে টেলিভিশন প্রকৌশলী গ্রেড-২ : ০৪]

(ক) n(n+1) (খ)

n^{2}

(গ)

2^{n - 1}

(ঘ)

2^{n}

উত্তরঃ (ঘ) $2^{n}$

Explanation:
n উপাদানবিশিষ্ট একটি প্রদত্ত সেটের উপসেটের সংখ্যা $2^{n}$

৩. A = {2, e} হলে P(A) কোনটি? [মাধ্যমিক বিদ্যালয় সহকারী শিক্ষক : ০০]

(ক) {{2} , {e}} (খ) {{2}, {e}, {2,e}} (গ) {{e}, {2}, {2,e}, Ø} (ঘ) {}

উত্তরঃ (গ) {{e}, {2}, {2,e}, Ø}

Explanation:
এখানে A সেটের উপাদান সংখ্যা = 2 এবং এর শক্তি সেটের উপাদান সংখ্যা $2^{2}$ = 4 . তাই সঠিক উত্তর {{e}, {2}, {2,e}, Ø}

৪. কোনো সেটের সদস্য সংখ্যা ৩ হলে, এর উপসেটের সংখ্যা কতটি হবে? [NBR-2015]

(ক) ২টি (খ) ৮টি (গ) ৩টি (ঘ) ৯টি

উত্তরঃ (খ) ৮টি

Explanation:
কোনো সেটের সদস্য সংখ্যা ৩ হলে, এর উপসেটের সংখ্যা $২^{৩} = ৮ টি$

৫. A = {x : x মৌলিক সংখ্যা এবং x ≤5 } হলে P(A) এর সদস্য সংখ্যা কত? [ ৩৬তম বিসিএস ]

(ক) 8 (খ) 7 (গ) 6 (ঘ) 3

উত্তরঃ (ক) 8

Explanation:
যেহেতু x একটি মৌলিক সংখ্যা এবং x ≤ 5 অর্থাৎ x - এর মান হল 5 এর সমান অথবা 5 এর থেকে ছোট মৌলিক সংখ্যা সুতরাং x = {2, 3, 5} সুতরাং nP(A) = $2^{3}$ = 8 (যে কোন সেটের সদস্য সংখ্যা 2 এর উপর পাওয়ার হিসেবে লিখলে তার উপসেট সংখ্যা বের হবে।)

৬. C = {x:x ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং $x^{2}$ < 18}; C সেটের উপাদানগুলো হবে- [৩৯ - তম বিসিএস- (বিশেষ)]

(ক) 1,2,3,4 (খ) 1,3,5,7 (গ) -2,-4,-6,-8 (ঘ) -1,-2,-3,-4

উত্তরঃ (ঘ) -1,-2,-3,-4

Explanation:
এখানে যেহেতু x একটি ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা তাই লেখা যায়,
${(-1)}^{2} = 1 < 18$
${(-2)}^{2} = 4 < 18$
${(-3)}^{2} = 9 < 18$
${(-4)}^{2} = 16 < 18$
অর্থাৎ 18 এর থেকে ছোট পূর্ণ বর্গ সংখ্যা আছে 4টি যথা, 16, 9, 4 এবং 1
আবার এদের ঋণাত্মক বর্গমুল গুলো হবে, -4, -3, -2 ও -1 হবে x এর মান।
সুতরাং x = -1,-2,-3,- 4

৭. A = {x : x ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা এবং $x^{2}$ < 25 }
B = {x : x মৌলিক সংখ্যা এবং $x^{2}$ < 25}
C = {x : x মৌলিক সংখ্যা এবং $x^{2}$ = 25} হলে, A∩B∩ C = ? [ ৩৭-তম বিসিএস প্রিলি ]

(ক) {1,2,3,4} (খ) {2,3,4} (গ) {2,3,4,5} (ঘ) Ø

উত্তরঃ (ঘ) Ø

Explanation:
এখানে,
A = {1,2,3,4} [যে সকল পূর্ণ সংখ্যার বর্গ 25 এর থেকে ছোট]
B = {2,3} [ যে সকল মৌলিক সংখ্যার বর্গ 25 এর থেকে ছোট]
C = {5} [ যে মৌলিক সংখ্যার বর্গ 25 এর সমান ]
এখন : A ∩ B ∩ C = {1,2,3,4} ∩ {2,3} ∩ {5} = Ø (কারণ তিনটি সেটের মধ্যে কোন সংখ্যার মিল নেই)

৮. A = {x : x মৌলিক সংখ্যা এবং x ≤5 } হলে P(A) এর সদস্য সংখ্যা কত? [ ৩৬তম বিসিএস]

(ক) 8 (খ) 7 (গ) 6 (ঘ) 3

উত্তরঃ (ক) 8

Explanation:
যেহেতু x একটি মৌলিক সংখ্যা এবং x ≤5
অর্থাৎ x এর মান হল 5 এর সমান অথবা 5 এর থেকে ছোট মৌলিক সংখ্যা
সুতরাং x = 2, 3, 5
সুতরাং A = {2,3,5}
সুতরাং nP(A) = $2^{3}$ = 8 (যে কোন সেটের সদস্য সংখ্যা 2 এর উপর পাওয়ার হিসেবে লিখলে তার উপসেট সংখ্যা বের হবে।)

৯. A = {x:x Fibonacci সংখ্যা এবং $x^{2}$ < 64} হলে, P(A) এর উপাদান কয়টা ? [৩৮তম বিসিএস প্রিলিঃ]

(ক) 128 (খ) 32 (গ) 64 (ঘ) 256

উত্তরঃ (খ) 32

Explanation:
দেয়া আছে, A = {x :x Fibonacci সংখ্যা এবং $x^{2}$ < 64}
আমরা জানি, Fibonacci সংখ্যা 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..
[Fibonacci সংখ্যা হল পরপর দুইটি সংখ্যার যোগফল পরবর্তী সংখ্যার সমান ]
আবার বলা হয়েছে $x^{2}$ < 64 অর্থাৎ x এর মান এমন সংখ্যা হবে যাতে তার বর্গ 64 এর থেকে ছোট হয়।
সুতরাং A = {0, 1, 1, 2, 3, 5} যেহেতু x = 8 হলে, $x^{2}$ <64 [শর্ত মিলছে না]
কিন্তু সেটের মধ্যে একই উপাদান দুবার নেয়া যায়না। তাই A = {0, 1, 2, 3, 5} নিতে হবে।
আমরা জানি, উপসেট বের করার নিয়ম হলো nP(A) = $2^{n}$ এখানে n = 5
সুতরাং উপ সেট সংখ্যা = $2^{5}$ = 32

১০. A = {1, 2, 3, 4} হলে, P(A) এর উপাদান সংখ্যা কত? [ মহিলা ও শিশুবিষয়ক মন্ত্রণালয়ের অধীনে উপজেলা মহিলাবিষয়ক কর্মকর্তা-২০১৬ ]

(ক) 4 (খ) 8 (গ) 12 (ঘ) 16

উত্তরঃ (ঘ) 16

Explanation:
এখানে , A = {1, 2, 3, 4}
সুতরাং P(A) এর উপাদান সংখ্যা হবে = $2^{4}$ = 16

সেট এর সাধারণ প্রশ্নসমূহ

নিম্নোক্ত নিয়মগুলি ভালোভাবে আয়ত্ব করলে সেটের অংকে কোন সমস্যা হবে না ।
1) দুটি সেটের উপাদানের মধ্যে ∪ (Union) চিহ্ন থাকলে মিল অমিল সব রাশি নিতে হবে। তবে কোন রাশিকে দুবার নেয়া যাবে না। যেমন: {1,3,5,6} ∪ { 2,3,4,5} = {1, 2,3,4,5,6}
2) আবার দুটি সেটের উপাদানের মধ্যে ∩ (Intersection) চিহ্ন থাকলে শুধু মিল আছে যে রাশিগুলো সেগুলো নিতে হবে, এবং অমিল রাশিগুলোকে বাদ দিতে হবে। যেমন: {1,3,5,6} ∩ { 2,3,4,5} = {3,5}
3) আবার দুটি সেটের উপাদানের মধ্যে (-) বিয়োগ চিহ্ন বা (\) থাকলে প্রথম সেটের উপাদান থেকে ২য় সেটের যে উপাদান গুলো মিল হবে তা বাদ দিতে হবে অর্থাৎ শুধু অমিল রাশি গুলো লিখতে হবে। যেমন: {1,3,5,6} - { 2,3,4,5} = {1,6}
কিন্তু যদি একটি রাশিও না মিলে তাহলে প্রথম অংশে যা থাকবে তাই উত্তর: যেমন: {1,3,5,}-{ 2,4,6} = {1,3,5,}
Note: সেটের বিয়োগফলে দ্বিতীয় সেটের কোনো উপাদান থাকে না ।
4) কোন বর্ণের উপর (') ড্যাস চিহ্ন থাকলে সার্বিক সেট U এর উপাদান থেকে ঐ সেটের উপাদনগুলো বিয়োগ করতে হবে। যেমন: A' দেয়া থাকলে প্রথমে লিখতে হবে U- A, তার পর মান বসিয়ে বিয়োগ করতে হবে, অনুরুপ ভাবে B´ থাকলে U-B.

১১. P = {x ∈ N : 2 < x ≤ 6} এবং Q = {x ∈ N : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 8} হলে P ∩ Q এর মান হবে- [ শিক্ষা মন্ত্রণালয়ের অধীনে কারিগরি শিক্ষা অধি: (জুনি: ইন্সট্রাক্টর) - ২০১৮ ]

(ক) {4, 6} (খ) {2, 3, 5} (গ) {2, 4, 6, 8} (ঘ) {2, 3, 4, 5, 6, 4}

উত্তরঃ (ক) {4, 6}

Explanation:
P = {3,4,5,6} [২ এর থেকে বড় ৬ পর্যন্ত] এবং Q = {2, 4, 6, 8} [৮ সহ ৮ এর থেকে ছোট জোড় সংখ্যা ]
.:. P ∩ Q = {3,4,5,6} ∩ {2, 4, 6, 8} = {4,6} [শুধু মিল সংখ্যাগুলো]

১২. যদি A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 5} হয়, তবে A\B = কত? [জনশক্তি, কর্মসংস্থান ও প্রশিক্ষণ ব্যুরো ইনস্ট্রাক্টর নিয়োগ-২০১৮]

(ক) {2, 3} (খ) {5} (গ) {1} (ঘ) { 3, 5}

উত্তরঃ (গ) {1}

Explanation:
A = {1,2,3} এবং B = {2,3,5}
সুতরাং A\B ={1,2,3}\{2,3,5} = {1} [\ চিহ্ন থাকলে (-) বিয়োগ করার মত যেগুলো মিলে সেগুলো বাদ ]

১৩. A = {-1, 1, 2} এবং B = Ø হলে, A ∪ B এর মান হবে- [NBR-2015]

(ক) {−1, 2} (খ) Ø (গ) {-1, 1, 2} (ঘ) {−1, 0}

উত্তরঃ (গ) {-1, 1, 2}

Explanation:
A ∪ B = {-1, 1, 2} ∪ { Ø } = {-1, 1, 2} [ মিল অমিল সবগুলো নিতে হবে। ]

১৪. ∪ = {1,2,3,4,5}, A = {1, 2, 4}, B = {2,4,5} হলে, A'B' হবে- [ প্রাথ:বি:সহ:শি:-০১ ]

(ক) {1, 2, 3} (খ) {2,3,4} (গ) {3,4,5} (ঘ) {2,3,4,5}

উত্তরঃ (ঘ) {2,3,4,5}

Explanation:
A' = ∪ - A = {1,2,3,4,5} - {1,2,4} = {3,5}
B′ = ∪ - B = {1,2,3,4,5} - {1,3,5} = {2,4}
সুতরাং A' ∪ B′ = {3,5} ∪ {2,4} = {2,3,4,5}

১৫. যদি A ও B যে কোনো দুইটি সেট হয়, তবে (A - B) ∩ B = কত? [ সহকারী পরিবার পরিকল্পনা কর্মকর্তা ২০১৬]

(ক) A (খ) B (গ) Ø (ঘ) C

উত্তরঃ (গ) Ø

Explanation:
(A - B) ∩ B = Ø [ (A-B) ও B দুটি ভিন্ন সেট]

১৬. P = {a, b}, Q = {b, c}, R = {3, 4} হলে ( P ∩ Q ∪ R ) এর উপাদান সংখ্যা কত? [ জনপ্রশাসন মন্ত্রণালয়ের অধীনে পিএসসি'র সহকারী পরিচালক-২০১৬ ]

(ক) 2 টি (খ) 3 টি (গ) 4 টি (ঘ) 5 টি

উত্তরঃ (খ) 3 টি

Explanation:
[ এখানে , (P ∩ Q) = {a, b} ∩ {b, c} = { b }
সুতরাং ( P ∩ Q ∪ R ) = { b } ∪ {3, 4} = {b , 3, 4}

১৭. যদি A = {1, 2} এবং B = {2, 5} হয়, তবে P(A) ∩ P(B) = ? [বিভিন্ন মন্ত্রণালয়ের ব্যক্তিগত কর্মকর্তা নিয়োগ-২০১৮]

(ক) {1, 5} (খ) {2} (গ) {Ø, (2) } (ঘ) { Ø}

উত্তরঃ (গ) {Ø, (2) }

Explanation:
এখানে, A = {1,2} এবং B = {2,5}
সুতরাং P(A) = {(1), (2), (1,2), Ø }
সুতরাং P(B) = {(2), (5), (2,5) , Ø }
তাহলে P(A) ∩ P (B)
= {(1), (2), (1,2), Ø } ∩ {(2), (5), (2,5), Ø }
= { Ø , (2)}

১৮. যদি সেট A = { 5, 15, 20, 30} এবং B = { 3, 5, 15, 18, 20} হয় তবে নিচের কোনটি A ∩ B নির্দেশ করবে? [33 তম বিসিএস]

(ক) {5, 15, 20} (খ) {5, 18, 20} (গ) {3, 15, 20} (ঘ) {5, 15, 30}

উত্তরঃ (ক) {5, 15, 20}

Explanation:
A ∩ B
= { 5, 15, 20, 30} ∩ { 3, 5, 15, 18, 20}
= {5, 15, 20} [ শুধু মিল গুলো নিতে হবে ]

১৯. যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা 105 এবং 147 কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 35 অবিশষ্ট থাকে, তাদের সেট নির্ণয় করুন। [ সাব রে: ০১ ]

(ক) {5, 15, 20} (খ) {5, 18, 20} (গ) {3, 15, 20} (ঘ) Ø

উত্তরঃ (ঘ) Ø

Explanation:
যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা 105 এবং 147 কে ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে 35 অবিশষ্ট থাকে, সে সংখ্যাটি (ভাজক) 35 অপেক্ষা বড় এবং সংখ্যাটি (105-35) = 70 এবং (147- 35) = 112 এর সাধারণ গুণনীয়ক। (অর্থাৎ ৭০ এবং ১১২ উভয়কেই নিঃশেষে ভাগ করা যেতে হবে)
মনে করি,
35 অপেক্ষা বড় 70 এর গুণনীয়কের সেট = A
এবং 35 অপেক্ষা বড় 112 এর গুণনীয়কের সেট = B
A= {70} এবং B= {56, 112}
নির্ণেয় সেট = A ∩ B= Ø [কারণ ৩৫ থেকে বড় এমন কোন সংখ্যা নেই যা দিয়ে ৭০ এবং ১১২ কে ভাগ করা যায়। ]

২০. কোন কোন স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা 346 কে ভাগ করলে প্রতি ক্ষেত্রে 31 অবশিষ্ট থাকে? [22 তম বিসিএস]

(ক) { 35, 45, 63, 105, 315} (খ) { 35, 63, 105, 315} (গ) { 35, 45, 63, 15} (ঘ) { 45, 63, 105, 315}

উত্তরঃ (ক) { 35, 45, 63, 105, 315}

Explanation:
প্রশ্নটিতে বলা হয়েছে কোন কোন স্বাভাবিক সংখ্যা দ্বারা 346 কে ভাগ করতে গেলে প্রতি ক্ষেত্রে 31 অবশিষ্ট থাকে। তাহলে
বোঝা যাচ্ছে সংখ্যাগুলো 31 এর থেকে বড় হবে, এবং 346-31 = 315 এর গুণনীয়ক । এখন
31 অপেক্ষা বড় 315 এর গুনণীয়ক গুলো হচ্ছে 35, 45, 63, 105, এবং 315,
সুতরাং 31 অপেক্ষা বড় 315 এর উৎপাদক সেট { 35, 45, 63, 105, 315} Ans:

২১. ৫ এর গুণিতকের সেট কোন ধরনের সেট? [বিভিন্ন মন্ত্রণালয়ের ব্যক্তিগত কর্মকর্তা নিয়োগ-২০১৮]

(ক) সসীম সেট (খ) সার্বিক সেট (গ) ফাঁকা সেট (ঘ) অসীম সেট

উত্তরঃ (ঘ) অসীম সেট

Explanation:
৫ এর গুণিতক গুলো হলো ৫, ১০, ১৫, ২০, ২৫ , ...
সুতরাং ৫ এর গুণিতকের সেট = { ৫, ১০, ১৫, ২০, ২৫, ..... }
সুতরাং ইহা একটি অসীম সেট।

২২. ৭ এর গুণিতকের সেট কোন ধরনের সেট? [ নৌপরিবহন মন্ত্রণালয় প্রশাসনিক কর্মকর্তা ২০১৩]

(ক) সসীম সেট (খ) সার্বিক সেট (গ) ফাঁকা সেট (ঘ) অসীম সেট

উত্তরঃ (ঘ) অসীম সেট

Explanation:
৭ এর গুণিতক গুলো হলো ৭, ১৪, ২১, ২৮, ৩৫ , ...
সুতরাং ৭ এর গুণিতকের সেট = { ৭, ১৪, ২১, ২৮, ৩৫ , ... }
সুতরাং ইহা একটি অসীম সেট।

২৩. যদি B = { x : $x^{2}$ = 9, 2x = 4} হয়, তবে B =? [সাব-রেজিস্টার - ২০১৬]

(ক) { } (খ) {-3, 3} (গ) {3, 2} (ঘ) {-3, 3, 2}

উত্তরঃ (ঘ) {-3, 3, 2}

Explanation:
$x^{2}$ = 9 হলে x = +3 অথবা -3 আবার 2x = 4 হলে x = 2
সুতরাং x এর মান বসিয়ে B = {-3, 3, 2}

ভেনচিত্রের সাধারণ প্রশ্ন

ভেন-চিত্র: কোন সেটের একাধিক উপসেটের মধ্যে সম্পর্ক নির্দেশ করতে অনেক সময় জ্যামিতিক চিত্র ব্যবহার করতে হয়, সেট প্রকাশের এরুপ জ্যামিতিক চিত্রকে ভেনচিত্র বলা হয় । যেমন: ভেনচিত্রের প্রশ্নগুলো অধিকাংশ সেটের নিম্নোক্ত সূত্র প্রয়োগ করে সমাধান করতে হয়। সুত্রটি হলো:
সুত্র: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
এখানে,
n(A ∪ B) = হল কমন/আনকমন সব উপাদান অর্থাৎ মোট ছাত্র-ছাত্রী বা মোট খেলোয়াড়ের সংখ্যা ।
n(A) = শুধু নির্দিষ্ট একটি উপাদান, বা এক বিষয়ে পাশ অথবা একটি খেলা খেলে এমন ।
n(B) = নির্দিষ্ট অন্য একটি উপাদান বা অন্য একটি বিষয়ে পাশ,অথবা অন্য একটি খেলা খেলে এমন ।
n(A ∩ B) = শুধু কমন উপাদান, অর্থাৎ উভয় বিষয়ে পাশ অথবা দুটি খেলা ই খেলে এমন ।

২৪. যদি n(A ∪ B) = 61, n(A) = 30, n(B) = 54 হয় তাহলে n(A ∩ B) এর মান কত? [বেসামরিক বিমান ও পর্যটন মন্ত্রণালয় প্রশাসনিক কর্মকর্তা : ০৫]

(ক) 22 (খ) 25 (গ) 23 (ঘ) 27

উত্তরঃ (গ) 23

Explanation:
সরাসরি বক্সের সুত্রটি প্রয়োগ করে পাই,
n(A ∪ B) = n(A)+ n(B) - n(A ∩ B)
বা, 61 = 30+54 - n(A ∩ B)
বা, n(A ∩ B) = 84 -61
বা, n(A ∩ B) = 23

২৫. ৫০ জন লোকের মধ্যে ৩৫ জন ইংরেজি, ২৫ জন ইংরেজি ও বাংলা উভয়ই এবং প্রত্যেকেই দুইটি ভাষার অন্তঃত একটি ভাষার কথা বলতে পারেন। বাংলায় কতজন কথা বলতে পারেন? [ ৩৫-তম বিসিএস]

(ক) 10 (খ) 15 (গ) 40 (ঘ) 30

উত্তরঃ (গ) 40

Explanation:
ধরি,মোট লোক সংখ্যা = n(E ∪ B) = 50 জন
শুধু ইংরেজীতে কথা বলতে পারে, n(E) = 35 জন,
শুধু বাংলায় কথা বলতে পারে n(B) =?,
বাংলা এবং ইংরেজী উভয় ভাষায় বলতে পারে 'n(E ∩ B) = 25 জন
এখন সুত্র প্রয়োগ করে পাই,
n(E ∪ B) = n(E) + n(B) - n(E ∩ B) + none (এই সূত্রটি-ই সব সময়, শুধু যার যার মান বসিয়ে সমাধান করতে হবে)
বা, 50 = 35 + n(B) – 25+0 [সবাই কথা বলতে পারে তাই none = 0 ]
বা, 50 = 10 + n(B)
বা, 50-10 = n(B)
সুতরাং n(B) = 40
সুতরাং বাংলায় কথা বলতে পারে ৪০ জন।

২৬. ৪০০ জন লোকের একটি দলে ২৬০ জন ইংরেজিতে এবং ১৮০ জন বাংলায় কথা বলতে পারে। তাহলে কতজন উভয় ভাষায় কথা বলতে পারে? [পোষ্ট মাষ্টার জেনারেল (পূর্বাঞ্চল, চট্টগ্রাম)-এর কার্যালয়ের অধীন পোষ্টাল অপারেটর ২০১৬]

(ক) ১৮০ (খ) ৪০ (গ) ৮০ (ঘ) ১৪০

উত্তরঃ (খ) ৪০

Explanation:
মোট লোক সংখ্যা = ৪০০
ইংরেজীতে কথা বলতে পারে = ২৬০ জন এবং বাংলাতে কথা বলতে পারে = ১৮০ জন।
সুতরাং হয় ইংরেজী এবং বাংলায় কথা বলতে পারে এমন লোকের সংখ্যা = ২৬০+১৮০ = ৪৪০ জন।
কিন্তু যেহেতু মোট লোক সংখ্যা ৪০০ জন। তাই উভয় ভাষায় কথা বলতে পারা লোকের সংখ্যা ৪৪০-৪০০ = ৪০ জন।

২৭. ৫০ জন ছাত্র-ছাত্রীর মধ্যে ১৮ জন মিউজিক, ২৬ জন আর্ট এবং ২ জন উভয় বিষয় ভর্তি হয়েছে। কতজন ছাত্র-ছাত্রী কোন বিষয়েই ভর্তি হয় নি। [(BB Cash Officer-11+ Exim Bank Ltd. Officer 2014]

(ক) 6 (খ) 8 (গ) 16 (ঘ) 24

উত্তরঃ (খ) 8

Explanation:
এ ধরণের প্রশ্নে সব সময় মনে রাখবেন যারা উভয় টিতে থাকে তারা প্রতিটি বিষয়ের ভেতরেও আছে। তাই লোক যতজন ই থাকুক তারা দুবার গণনা হয়ে যায়।

সমাধানটি দেখুন:
এখানে মোট ছাত্র-ছাত্রী ৫০ জন
তাদের ১৮ জন মিউজিক এবং ২৬ জন আর্ট নিলে মিউজিক + আর্ট = ১৮+২৬ = ৪৪ মনে হলেও এখানে মোট ছাত্র আছে ৪৪-২ = ৪২ জন । কারণ উভয় বিষয়ে নিয়েছে ২ জন তাই ২ বিয়োগ করতে হয়।
সুতরাং কোন বিষয়েই ভর্তি হয় নি: ৫০-৪২ = ৮ জন।