অনুপাত ও সমানুপাত- পাটিগণিত

আমরা দৈনন্দিন জীবনে অনেক সমস্যার সম্মুখীন হই এবং এ সকল সমস্যা অনুপাত ও সমানুপাতের ধারণা ও ব্যাখ্যা ব্যবহার করে সহজে সমাধান করতে পারি। তাই অনুপাত ও সমানুপাত সম্বন্ধে ধারণা থাকা ও প্রয়োগের দক্ষতা অর্জন করা শিক্ষার্থীদের জন্য আবশ্যকীয়। তাই এ অধ্যায়ে অনুপাত-সমানুপাত বিষয়ক বিষয়বস্তু বিস্তারিতভাবে উপস্থাপন করা হয়েছে। তাছাড়া অনুপাত-সমানুপাত অধ্যায়টি খুবই গুরুত্বপূর্ণ এই কারণে যে প্রায় প্রত্যেক জব / প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষায়ই এ অধ্যায় থেকে ২/১ টি প্রশ্ন এসে থাকে। কাজেই নিচে দেওয়া প্রতিটি ধাপ এবং বিগত সালের প্রশ্নসমূহ বুঝে বুঝে সমাধান করুন।

প্রাথমিক আলোচনা
কিছু সহজ কৌশল
সমানুপাত বের করা
ভগ্নাংশের অনুপাত
বিভিন্ন প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষার প্রশ্ন ও সমাধান

প্রাথমিক আলোচনা

Ratio বা অনুপাত কী?

অনুপাত হচ্ছে এক বা একাধিক রাশির তুলনা যাকে ( : ) চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা হয় যা একটি ভগ্নাংশকে নির্দেশ করে। যেমন- ৩:৭ = $\frac{৩}{৭}$ ।

অনুপাত সম্পর্কিত কিছু তথ্য:

অনুপাত হচ্ছে একটি ভগ্নাংশ যাতে প্রথম রাশি লব এবং দ্বিতীয় রাশি হর ।
অনুপাতকে সবসময় ক্ষুদ্রতম আকারে প্রকাশ করতে হয় । অর্থাৎ ৮:৬ না লিখে লিখতে হয় ৪:৩ ।
অনুপাতের তুলনায় যে রাশি প্রথমে তার মান ও প্রথমেই বসাতে হয় ।
অনুপাতে প্রকাশ করার জন্য কমপক্ষে দুটি রাশির মানের প্রয়োজন ।
অনুপাতের নির্দিষ্ট কোন একক নেই। অর্থাৎ ৫:৭ = ৫ কেজি ও ৭কেজি বলা যাবে না।বরং যার অনুপাত প্রকাশ করবে তখন সেই এককই ব্যবহৃত হবে।

বিভিন্ন প্রকার অনুপাতঃ

বহুরাশিক অনুপাত: মনে করি, একটি বাক্সের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে ৮ সে.মি., ৫ সে.মি. ও ৬ সে.মি.
দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত = ৮ : ৫ : ৬
সংক্ষেপে, দৈর্ঘ্য : প্রস্থ : উচ্চতা = ৮ : ৫ : ৬
এখানে তিনটি রাশির অনুপাত উপস্থাপন করা হয়েছে। এরূপ তিন বা ততোধিক রাশির অনুপাতকে বহুরাশিক অনুপাত বলে।

ধারাবাহিক অনুপাত : মনে করি, পুত্র ও পিতার বয়সের অনুপাত = ১৫ : ৪১ (পূর্ব রাশি: উত্তর রাশি) এবং পিতা ও দাদার বয়সের অনুপাত = ৪১: ৬৫ ।
দুইটি অনুপাতকে একত্র করে পাই, পুত্রের বয়স : পিতার বয়স : দাদার বয়স = ১৫ : ৪১ : ৬৫ । এ ধরনের অনুপাতকে ধারাবাহিক অনুপাত বলে।
এখানে লক্ষণীয় যে, প্রথম অনুপাতের উত্তর রাশি ও দ্বিতীয় অনুপাতের পূর্ব রাশি সমান। প্রথম অনুপাতের উত্তর রাশি ও দ্বিতীয় অনুপাতের পূর্ব রাশি সমান না হলে তাদেরকে সমান করে ধারাবাহিক অনুপাত বের করতে হয়।

দুইটি অনুপাতকে ধারাবাহিক অনুপাতে রূপান্তরের জন্য প্রথম অনুপাতের উত্তর রাশি দ্বারা দ্বিতীয় অনুপাতের উভয় রাশিকে গুণ করতে হবে এবং দ্বিতীয় অনুপাতের পূর্ব রাশি দ্বারা প্রথম অনুপাতের উভয় রাশিকে গুণ করতে হবে।

উদাহরণস্বরুপ : মনে করি, পুত্র ও পিতার বয়সের অনুপাত = ৩ : ৭ এবং পিতা ও দাদার বয়সের অনুপাত = ৫: ৮ ।
এখন দুইটি অনুপাতকে ধারাবাহিক অনুপাতে রূপান্তরের জন্য প্রথম অনুপাতের উত্তর রাশি ( ৭ ) দ্বারা দ্বিতীয় অনুপাতের উভয় রাশিকে গুণ করতে হবে ।এদের গুণফল হয় = ৫×৭ : ৮×৭ = ৩৫ : ৫৬ । আবার দ্বিতীয় অনুপাতের পূর্ব রাশি ( ৫ ) দ্বারা প্রথম অনুপাতের উভয় রাশিকে গুণ করতে হবে। এদের গুণফল হয় = ৩×৫ : ৭×৫ = ১৫ : ৩৫ । এক্ষেত্রে দেখা যাচ্ছে পিতার বয়সের অনুপাত উভয়ক্ষেত্রেই ৩৫ । তাই দুইটি অনুপাতকে একত্র করে পাই, পুত্রের বয়স : পিতার বয়স : দাদার বয়স = ১৫ : ৩৫ : ৫৬ । এটিই ধারাবাহিক অনুপাত।

ব্যস্ত বা বিপরীত অনুপাত: কোন অনুপাতের পূর্ব ও উত্তরঃ রাশিকে যথাক্রমে উত্তর ও পূর্ব রাশি ধরে যে অনুপাত হয়, তাকে প্রথম অনুপাতের ব্যস্ত অনুপাত বলা হয়। যেমন ৩:৪ এর ব্যস্ত বা বিপরীত অনুপাত ৪:৩।

দ্বিগুণানুপাতঃ কোন অনুপাতের পূর্ব ও উত্তর ও রাশির বর্গের অনুপাতকে তার দ্বিগুণানুপাত বলা হয়। যথা- ৩:২ এর দ্বিগুণানুপাত ${(৩)}^{২}$ : ${(২)}^{২}$ = ৯:৪ ।

দ্বিবিভাজিত অনুপাত : কোন সরল অনুপাতের পূর্ব রাশির বর্গমূলকে পূর্ব রাশি এবং উত্তর রাশির বর্গমূলকে উত্তর রাশি ধরে প্রাপ্ত অনুপাতকে প্রদত্ত অনুপাতের দ্বিভাজিত অনুপাত বলা হয়। যেমন , ১৬:৯ এর দ্বিভাজিত অনুপাত √১৬:√৯ = ৪:৩।

মিশ্র অনুপাত : একের অধিক সরল অনুপাতের পূর্ব রাশিগুলোর গুণফলকে পূর্ব রাশি ও উত্তর রাশিগুলোর গুণফলকে উত্তর রাশি ধরে যে অনুপাত তৈরী করা হয় , তাকে মিশ্র অনুপাত বলা হয় । যেমন- ৩:৪ , ৫:৬ ও ২:৫ তিনটি সরল অনুপাত । তাদের পূর্ব রাশিগুলোর গুণফল = (৩×৫×২) = ৩০ এবং উত্তর রাশিগুলোর গুণফল = (৪×৬×৫) = ১২০ । সুতরাং প্রদত্ত অনুপাত তিনটির মিশ্র অনুপাত ৩০:১২০ বা ১:৪ ।

কিছু সহজ কৌশল

উদাহরণ:-১. ৪ : ৭ ও ১০ : ১১ অনুপাত দুইটির মধ্যে কোনটি বৃহত্তম?

সমাধান: ৪:৭ = $\frac{৪}{৭}$ এবং ১০:১১ = $\frac{১১}{১০}$ [অনুপাত কে ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা যায়]
এখানে হরদ্বয় ৭ ও ১১ এর ল.সা.গু. = ৭৭ [দুটি ভগ্নাংশের হর দুটি কে সমান করলে তুলনা করতে সহজ হবে।]
এখন, ৪:৭ = $\frac{৪}{৭}$ = $\frac{৪×১১}{৭×১১}$ = $\frac{৪৪}{৭৭}$ [ এখানে ভগ্নাংশের হর দিয়ে ল.সা.গু কে ভাগ করে প্রাপ্ত ভাগফল দিয়ে লব ও হর উভয়কে গুণ করা হয়েছে ]
এবং ১০:১১ = $\frac{১০}{১১}$ = $\frac{১০×৭}{১১×৭}$ = $\frac{৭০}{৭৭}$ ; এখানে $\frac{৪৪}{৭৭}$ > $\frac{৭০}{৭৭}$
সুতরাং ১০:১১ অনুপাতটি বৃহত্তম।
[একই নিয়মে ৩,৪টি অনুপাতের মধ্য থেকে ছোট বড় টি বের করা যায় ভগ্নাংশের তুলনা করার মত করে হিসেব করে। এজন্য “বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশ নির্ণয় “ পোস্টটি পড়ুন এখানে ক্লিক করে ।]

উদাহরণ:-২. সাজু ও রাজুর বয়সের অনুপাত ৩:২; সাজুর বয়স ১৫ বছর হলে, রাজুর বয়স কত?

সমাধান:
এখানে লক্ষ্য করুন, অনুপাতের প্রথমে সাজুর নাম তাই অনুপাতটির প্রথমটি সাজুর বয়স। তাই এখানে অনুপাতের ৩ অংশের মান = ১৫ হলে ১ অংশের মান হবে ১৫ ÷৩ = ৫ । এখন যেহেতু রাজুর বয়স বের করতে বলেছে তাই এই ১ অংশের মান দিয়ে রাজুর অংশকে গুণ করতে হবে। আর এই অংকটিতে রাজুর অংশ হল ২। তাই রাজুর বয়স হবে ৫×২ = ১০ বছর।

আবার একটু ভিন্ন ভাবে আসতে পারে, যেমন-
উদাহরণ:-৩.সাজু ও রাজুর বয়সের অনুপাত ৪:৫; রাজুর বয়স ২০ হলে সাজুর বয়স কত?

সমাধান:
এখানে অনুপাতের ৪ অংশ = ২০ না, বরং ৫ অংশ = ২০ কেননা ২০ হলো রাজুর বয়স এবং রাজুর বয়সের আনুপাতিক মান হলো ৫ । অনেকেই ভুল করতে পারে, এক্ষেত্রে আগে ১ অংশের মান আনলে মুখে মুখে করা যাবে। যেমন: ৫ অংশ = ২০ তাই ১ অংশ ২০÷৫ = ৪, এখন ৪ অংশ = ৪×৪=১৬ বছর। সুতরাং সাজুর বয়স ১৬ বছর। (কেননা সাজুর বয়স মোট অনুপাতের ৪ অংশ),
আবার যদি তাদের দু জনের মোট বয়স কত? চাইতো তাহলে, ৪+৫= ৯ অংশের মান বের করতে হবে, ৯ অংশ = ৪×৯=৩৬ বছর। অনেকে ২জনের আলাদা আলাদা বয়স বের করে যোগ করবেন, তাতেও হবে কিন্তু ২ সেকেন্ড সময় বেশি লাগবে। তাই যেভাবে করলে দু সেকেন্ড সময় কম লাগবে সেভাবে শেখার চেষ্টা করুন।

উল্টোভাবে আসলে, যেমন:
উদাহরণ:-৪. পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত ৪:১, তাদের মোট বয়স ৫০ বছর হলে কার বয়স কত?

দেখেই বোঝা যাচ্ছে, পিতার ৪ অংশ + পুত্রের ১ অংশ =মোট ৫ অংশ, আবার মোট বয়স ৫০ বছর, তাই ৫ অংশের মান = ৫০ বছর। তাহলে ১ অংশের মান = ৫০÷৫ = ১০বছর,
এখন, পিতার বয়স = ৪ অংশ ×১০ = ৪০ বছর এবং পুত্রের বয়স = ১ অংশ×১০ = ১০ বছর ।
এখানে মনে রাখবেন অনুপাতের মধ্যকার সংখ্যাগুলো অনুযায়ী অংশ ধরা হয় এবং যত অংশের মান দেয়া থাকে সেই অংশ কে ভাগ করে প্রথমে এক অংশের মান বের করার পর যার অংশ বের করতে বলে তার অংশ বের করতে হয়। যেমন:

উদাহরণ:-৫. ক, খ ও গ এর আয়ের অনুপাত ২ :৩ :৫ টাকা। ক এর আয় ১০০ টাকা হলে গ এর আয় কত টাকা, এবং তিন জনের মোট আয় কত?

সমাধান:
এরকম অংকের ক্ষেত্রে সবার আগে অংকটি করা শুরু করবেন অংকে প্রদত্ত সংখ্যাটি থেকে, অর্থাৎ অংকটিতে যে ১০০ দেয়া আছে তা কী? এটা হলো ক এর মোট আয়। আবার অনুপাতে ক এর মোট অংশ ২ তাহলে বোঝাই যাচ্ছে এই ১০০ হচ্ছে ২ অংশের মান। এখানে ২ অংশের মান ১০০ টাকা তাই ১ অংশের মান হচ্ছে ১০০÷২ = ৫০টাকা। তাহলে গ এর আর অনুপাতে দেয়া আছে ৫ অংশ, তাই ৫ অংশের মান হবে ৫০x৫ = ২৫০ টাকা। আবার তাদের মোট আয় হবে ২+৩+৫ = ১০ অংশ অর্থাৎ ১০×৫০ = ৫০০ টাকা ।

Very Very Important : এখান থেকে ভালোভাবে শিখে নিন এই ১ অংশ বিষয়টি কি? কিভাবে এই ১ অংশের মান বের করে তা দিয়ে অনুপাতের বিভিন্ন অংক খুব দ্রুত করা যায়। তাহলে অধিকাংশ অংকই মুখে মুখে করতে পারবেন।

উদাহরণ:-৬. করিম ও রহিমের বেতনের অনুপাত ৭:৫। করিমের বেতন রহিমের বেতন অপেক্ষা ৪০০ টাকা বেশী হলে করিমের কাছে মোট কত টাকা আছে?

প্রথমে অনুপাতের বিয়োগফল অর্থাৎ ৭-৫=২ এখন, এই ২ ভাগ = ৪০০ টাকা । তাই ১ ভাগ = ২০০ টাকা, আর ১ ভাগের মান বের হলে কার মান কত তা সহজেই মুখে মুখে বের করা যায়। এখানে করিমের অংশ = ৭ । তাই করিমের কাছে টাকা আছে = ৭×২০০ = ১৪০০ টাকা।

উদাহরণ:-৭. দুইটি রাশির অনুপাত ৬:১১ । উত্তর রাশি ৯৯ হলে, পূর্ব রাশি কত?

সমাধান:
এ ধরণের অংক মুখে মুখে-ই করা সম্ভব এবং খাতা কলম ছাড়াই করতে হবে। লক্ষ্য করুন অনুপাত বাদে যে ৯৯ সংখ্যাটি দেয়া আছে তা হল অনুপাতের ১১ অংশের মান, তাহলে সংখ্যাটি ৯ গুণ বেড়ে গেছে। সুতরাং অপর রাশিটিও সমান অনুপাতে ৯ গুণ বেড়ে হয়ে যাবে ৫৪ ৷

উদাহরণ:-৮. দুইটি বইয়ের মূল্যের অনুপাত ৫ : ৭ । দ্বিতীয়টির মূল্য ৮৪ টাকা হলে, প্রথমটির মূল্য কত?

সমাধান:
২য় বইটির মূল্য = ৭ অংশ = ৮৪ হলে ,১ অংশ = ৮৪÷৭ = ১২ । তাহলে প্রথম বইটির মূল্য হবে = ৫ অংশ = ৫×১২ = ৬০ টাকা ।

উদাহরণ:-৯. ৫৬ কে ৮:৭ অনুপাতে হ্রাস করলে নতুন সংখ্যা হবে?

সমাধান:
হ্রাস পাওয়া অর্থ কমে যাওয়া এখানে ৮ অনুপাত থেকে ৭ অনুপাতে আনলে কমবে। ৫৬ সংখ্যাটি ৮ অংশের মান। তাই হ্রাস কৃত সংখ্যাটি হবে ৭×৭ = ৪৯।

উদাহরণ:-১০. সুমনের বেতন রহিমের বেতনের ২১০% । লিটনের বেতন লিজার বেতনের ৭০%। লিজার বেতন রহিমের বেতনের দ্বিগুণ সুমন এবং লিটনের বেতনের অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি, রহিমের বেতন = ১০০ সুতরাং সুমনের বেতন = ২১০
লিজার বেতন ১০০×২ = ২০০
লিটনের বেতন = ২০০ এর ৭০% = ১৪০
সুতরাং সুমন এবং লিটনের বেতনের অনুপাত = ২১০:১৪০ = ৩:২ উত্তর:

সমানুপাত বের করা

দুইটি অনুপাত পরস্পর সমান হলে তাকে সমানুপাত (Proportioin) বলে। চারটি রাশির মধ্যে যদি প্রথম ও দ্বিতীয় রাশির অনুপাত, তৃতীয় ও চতুর্থ রাশির অনুপাতের সমান হয়, তবে ঐ রাশি চারটিকে সমানুপাতী (Proportioinal) বলে। যথা— (১) ৪ : ৬, ১০:১৫ এরা সমানুপাতী। কারণ, ৪:৬ = $\frac{৪}{৬}$ = $\frac{২}{৩}$ এবং ১০ : ১৫ = $\frac{১০}{১৫}$ = $\frac{২}{৩}$ ।
উভয় অনুপাতের মান $\frac{২}{৩}$ বলে এরা সমানুপাতী।
(২) ২ টাকা, ৫ টাকা, ১২ গজ, ৩০ গজ—এই চারটি রাশি সমানুপাতী।
কারণ, ২ টাকা ÷ ৫ টাকা = $\frac{২}{৫}$ এবং ১২ গজ ÷ ৩০ গজ = $\frac{১২}{৩০}$ = $\frac{২}{৫}$
এখানে প্রথম রাশি দুইটির অনুপাত, তৃতীয় ও চতুর্থ রাশি দুইটির অনুপাতের সমান হওয়ায়, ঐ রাশির চারটি সমানুপাতী।
লেখার নিয়ম (Process of writing):
৪ : ৬ = ১০ : ১৫ “=” এই সমান চিহ্নটির পরিবর্তে “::” এই চিহ্নটি ব্যবহার করা হয়। যথা, ৪ : ৬ :: ১০ : ১৫ ।
টিপস: চারটি রাশি সমানুপাতী হলে প্রান্তীয় (প্রথমটি ও চতুর্থটি) রাশি দুইটির মানের গুণফল মধ্যরাশি দুইটির মানের গুণফলের সমান হবে। অর্থাৎ প্রথম ও শেষ রাশিটির গুণফল মধ্যের দুটি রাশির গুণফলের সমান হবে।

উদাহরণ:-১. ৩, ৯ এবং ৪ এর চতুর্থ সমানুপাতিক কত ?
সমানুপাতের অংকগুলো মুখে মুখে করার জন্য এভাবে ভাবুন >> প্রশ্নে অংকটি দেখেই ৩,৯,৪ এর মধ্যে মাঝখানের দুটির গুণফল ৩৬ তাহলে প্রথম ও শেষ রাশিটির গুণফল ও ৩৬ হবে। এখানে প্রথম রাশি দেয়া আছে ৩, তাহলে শেষ রাশিটি হবে। ৩৬÷৩= ১২।

উদাহরণ:-২. ৯ ও ১৬-এর মধ্য সমানুপাতী কত?
[Hints: মধ্যসমানুপাত একই, শুধু মাঝের রাশি দুটি একই সংখ্যা হবে, তাই ৯×১৬ =১৪৪ এর বর্গমূল ১২ হবে উত্তর।]

উদাহরণ:-৩. টিপুর বোনের বয়স টিপুর বয়সের এবং তার বাবার বয়সের মধ্য সমানুপাতী। টিপুর বয়স ১২ বছর,তার বাবার বয়স ৪৮বছর হলে, তার বোনের বয়স কত?
[Hints: ১২×৪৮ = ৫৭৬ এর বর্গমূল = ২৪]

ভগ্নাংশের অনুপাত

টিপস: এ জাতীয় অংক করতে শুধু অনুপাতটিকে ভগ্নাংশ আকারে অথবা ভগ্নাংশটিকে অনুপাত আকারে সাজিয়ে লিখলেই হয়ে যাবে। লক্ষ্য রাখবেন প্রথম অংশটি বা বামপক্ষ ভগ্নাংশের উপরে এবং অন্যটি নিচে লিখতে হয়। যেমন: a:b = b:c হলে $\frac{a}{b}$ = $\frac{b}{c}$ এরকম দুটি অনুপাত সমান সমান হলে প্রথম রাশি ×শেষ রাশি = মাঝের দ্বিতীয় রাশি × তৃতীয় রাশি ।

উদাহরণ:-১. 261 টি আম তিন ভাইয়ের মধ্যে $\frac{1}{3}$ : $\frac{1}{5}$ : $\frac{1}{9}$ অনুপাতে ভাগ করে দিলে প্রথম ভাই কতটি আম পাবে?

সমাধান:
যে কোন অনুপাতের অংকে ভগ্নাংশ আসলে প্রথমে ঐ ভগ্নাংশগুলোকে তাদের হরের ল.সা.গু দিয়ে গুণ করে পূর্ণ সংখ্যায় পরিণত করতে হয়। $\frac{1}{3}$ : $\frac{1}{5}$ : $\frac{1}{9}$ এই হরগুলোর ল.সা.গু. = 45 ,
সুতরাং পূর্ণ সংখ্যায় অনুপাত হবে $\frac{1}{3}$ × 45 : $\frac{1}{5}$ × 45: $\frac{1}{9}$ × 45 = 15:9:5
এখন অনুপাতের যোগফল 15+9+5 = 29
সুতরাং প্রথম ভাই পাবে 261 এর $\frac{15}{29}$ = 135 টি।

উদাহরণ:-২. তিনজন জেলে 690 টি মাছ ধরেছে। তাদের অংশের অনুপাত $\frac{2}{3}$ , $\frac{4}{5}$ এবং $\frac{5}{6}$ হলে , কে কয়টি মাছ পেল?

সমাধান:
যে কোন অনুপাতের অংকে ভগ্নাংশ আসলে প্রথমে ঐ ভগ্নাংশগুলোকে তাদের হরের ল.সা.গু দিয়ে গুণ করে পূর্ণ সংখ্যায় পরিণত করতে হয়। $\frac{2}{3}$ : $\frac{4}{5}$ : $\frac{5}{6}$ এই হরগুলোর ল.সা.গু. = 30 ,
সুতরাং পূর্ণ সংখ্যায় অনুপাত হবে $\frac{2}{3}$ × 30 : $\frac{4}{5}$ × 30: $\frac{5}{6}$ × 30 = 20:24:25
এখন অনুপাতের যোগফল 20+24+25 = 69
সুতরাং প্রথম জেলে পাবে 690 এর $\frac{20}{69}$ = 200 টি।
দ্বিতীয় জেলে পাবে 690 এর $\frac{24}{69}$ = 240 টি।
তৃতীয় জেলে পাবে 690 এর $\frac{25}{69}$ = 250 টি।

বিভিন্ন প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষার প্রশ্ন ও সমাধান

১. বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত কোনটি ? [৮ম সহকারী শিক্ষক নিবন্ধন পরীক্ষা-২০১২]

(ক) ২২:৭ (খ) ৭:২২ (গ) ২২:৬ (ঘ) ২২:৫

উত্তরঃ (ক) ২২:৭

Explanation: আমরা জানি, বৃত্তের পরিধি ২πr (π = পাই, r = ব্যাসার্ধ)
এবং বৃত্তের ব্যাস ২r (r = ব্যাসার্ধ)।
সুতরাং, পরিধি:ব্যাস = ২πr:২r = π:১
= $\frac{২২}{৭}$ :১ (যেহেতু π এর মান $\frac{২২}{৭}$
= $\frac{২২}{৭}$
সুতরাং বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত π: ১ বা $\frac{২২}{৭}$

২. দুইটি দ্রব্যের মূল্যের অনুপাত ৫ :৭। দ্বিতীয়টির মূল্য ১৭.৮৫ টাকা হলে, প্রথমটির মূল্য কত ? [সহকারী উপজেলা শিক্ষা অফিসার-২০১২]

(ক) ১২.৭৫ টাকা (খ) ১৩.৭৫ টাকা (গ) ১১৪.৭৫ টাকা (ঘ) ১৫.৭৫ টাকা

উত্তরঃ (ক) ১২.৭৫ টাকা

Explanation: দ্বিতীয়টির মূল্য ১৭.৮৫ টাকা
অর্থাৎ অনুপাত ৭ = ১৭.৮৫ টাকা
অনুপাত ১ = ১৭.৮৫÷৭ = ২.৫৫
অনুপাত ৫ = ২.৫৫×৫ = ১২.৭৫
প্রথমটির মূল্য = ১২.৭৫ টাকা

৩. a : b = ৪ : ৭, b : c = ৫ : ৬ হলে, a : b : c কত হবে ? [১৬তম বিসিএস]

(ক) ৪:৭:৫ (খ) ৪:৭:৬ (গ) ২০:৩৫:৪২ (ঘ) ২০:২৪:৩৫

উত্তরঃ (গ) ২০:৩৫:৪২

Explanation: অর্থাৎ দুইটি অনুপাতকে ধারাবাহিক অনুপাতে রুপ দিতে হবে। তাই দুইটি অনুপাতকে ধারাবাহিক অনুপাতে রূপান্তরের জন্য প্রথম অনুপাতের উত্তর রাশি ( ৭ ) দ্বারা দ্বিতীয় অনুপাতের উভয় রাশিকে গুণ করতে হবে । এদের গুণফল হয় = ৫×৭ : ৬×৭ = ৩৫ : ৪২ । আবার দ্বিতীয় অনুপাতের পূর্ব রাশি ( ৫ ) দ্বারা প্রথম অনুপাতের উভয় রাশিকে গুণ করতে হবে। এদের গুণফল হয় = ৪×৫ : ৭×৫ = ২০ : ৩৫ । এক্ষেত্রে দেখা যাচ্ছে 'b' এর অনুপাত উভয়ক্ষেত্রেই ৩৫ । তাই দুইটি অনুপাতকে একত্র করে পাই, a : b : c = ২০ : ৩৫ : ৪২ ।

৪. ৪ :৯ - এর ব্যস্তানুপাত কত ? [প্রাথমিক শিক্ষা অধিদপ্তরের হিসাব সহকারী পদে নিয়োগ পরীক্ষা-২০১১]

(ক) ২:৩ (খ) ৮:১৮ (গ) ৯:৪ (ঘ) ১৬:৮১

উত্তরঃ (গ) ৯:৪

Explanation: ব্যস্তানুপাত বলতে বিপরীত অনুপাত । তাই এটিকে উল্টিয়ে লিখতে হবে ৯:৪ ।

৫. ক ও খ - এর বেতনের অনুপাত ৭:৫। ক, খ অপেক্ষা ৪০০ টাকা বেশী বেতন পেলে খ - এর বেতন কত ? [ রেজিস্টার্ড প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক নিয়োগ-২০১১(টগর) ]

(ক) ৯০০ টাকা (খ) ১০০০ টাকা (গ) ১১০০ টাকা (ঘ) ১৬০০ টাকা

উত্তরঃ (খ) ১০০০ টাকা

Explanation: খ এর চেয়ে ক এর অনুপাত বেশী = ৭-৫ = ২
অর্থাৎ অনুপাত ২ বেশী = ৪০০ টাকা
অনুপাত ১ = ৪০০ টাকা ÷২ = ২০০ টাকা
অনুপাত ৫ = ২০০×৫ = ১০০০ টাকা
খ - এর বেতন = ১০০০ টাকা

৬. ১৪৩ টাকাকে ২:৪:৫ অনুপাতে ভাগ করলে, বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম অংশের পার্থক্য কত টাকা হবে ? [ রেজিস্টার্ড প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক নিয়োগ-২০১১(হাসনাহেনা)]

(ক) ৩৬ টাকা (খ) ৩৯ টাকা (গ) ৪০ টাকা (ঘ) ৪২ টাকা

উত্তরঃ (খ) ৩৯ টাকা

Explanation: অনুপাতের সংখ্যাগুলোর যোগফল = ২+৪+৫ = ১১
বৃহত্তম অংশ = ১৪৩ টাকার $\frac{৫}{১১}$ = ৬৫ টাকা
ক্ষুদ্রতম অংশ = ১৪৩ টাকার $\frac{২}{১১}$ = ২৬ টাকা
বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম অংশের পার্থক্য হবে = ৬৫-২৬ = ৩৯ টাকা

৭. ২৪ কে ৭ :৬ অনুপাতে বৃদ্ধি করলে নতুন সংখ্যা হবে-? [ রেজিস্টার্ড প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক নিয়োগ-২০১১(হাসনাহেনা)]

(ক) ২৪ (খ) ২৬ (গ) ২৮ (ঘ) ৩০

উত্তরঃ (গ) ২৮

Explanation: এক্ষেত্রে ২য় অনুপাত দ্বারা প্রদত্ত সংখ্যাটিকে ভাগ করতে হবে।প্রাপ্ত ভাগফলকে ১ম অনুপাত দ্বারা গুণ করলেই নতুন সংখ্যা পাওয়া যাবে। যেমন, এখানে ২৪÷৬ = ৪ আবার ৪×৭ = ২৮ ।

৮. ৬৪ কে ৭:৮ অনুপাতে হ্রাস করলে নতুন সংখ্যা হবে-? [ রেজিস্টার্ড প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক নিয়োগ-২০১১(শাপলা) ]

(ক) ৫৪ (খ) ৫৬ (গ) ৫৮ (ঘ) ৬০

উত্তরঃ (খ) ৫৬

Explanation: হ্রাস পাওয়া অর্থ কমে যাওয়া এখানে ৮ অনুপাত থেকে ৭ অনুপাতে আনলে কমবে। ৬৪ সংখ্যাটি ৮ অংশের মান। তাই হ্রাস কৃত সংখ্যাটি হবে ৭×৮ = ৫৬।

৯. দুইটি রাশির অনুপাত ৭:১২ । উত্তর রাশি ৯৬ হলে, পূর্ব রাশি কত ? [ রেজিস্টার্ড প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক নিয়োগ-২০১১(শাপলা) ]

(ক) ৪৯ (খ) ৫৪ (গ) ৫৬ (ঘ) ৬০

উত্তরঃ (গ) ৫৬

Explanation: উত্তর রাশি অনুপাত ১২ = ৯৬
অনুপাত ১ = ৯৬÷১২ = ৮
পূর্ব রাশির অনুপাত ৭ = ৮×৭ = ৫৬
পূর্ব রাশি = ৫৬

১০. কোন অনুপাতের উভয় পদের সঙ্গে ১ যোগ করলে অনুপাতটি ৩:৪ এবং উভয় পদ থেকে ১ বিয়োগ করলে অনুপাতটি ২:৩ হবে ? [ রেজিস্টার্ড প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক নিয়োগ-২০১১(জবা) ]

(ক) ২:৫ (খ) ৪:৯ (গ) ৬:১১ (ঘ) ৫:৭

উত্তরঃ (ঘ) ৫:৭

Explanation: এটা অপশনভিত্তিক যাচাই করতে হবে। যেমন ৫+১ : ৭+১ = ৬ :৮ = ৩:৪, আবার, ৫-১:৭-১ = ৪:৬ = ২:৩ ।

১১. একটি মাছ ২৫% লাভে বিক্রি করা হলে উহার ক্রয়মূল্য ও বিক্রয়মূল্যের অনুপাত নির্ণয় করুন। [ উপজেলা পোস্ট মাস্টার-২০১০]

(ক) ৫:৬ (খ) ৪:৬ (গ) ৪:৫ (ঘ) ৪:৩

উত্তরঃ (গ) ৪:৫

Explanation: ২৫% লাভে ক্রয়মূল্য ১০০ টাকা হলে বিক্রয়মূল্য = ১০০+২৫ = ১২৫ টাকা
ক্রয়মূল্য ও বিক্রয়মূল্যের অনুপাত = ১০০:১২৫ = ৪:৫

১২. দুইটি সংখ্যার বিয়োগফল তাদের যোগফলের $\frac{১}{৩}$ অংশ। সংখ্যা দুইটির অনুপাত কত ? [ বহিরাগমন ও পাসপোর্ট অধিদপ্তরের সহকারী পরিচালক-২০১১]

(ক) ৩:১ (খ) ২:৩ (গ) ১:৪ (ঘ) ২:১

উত্তরঃ (ঘ) ২:১

Explanation: ধরি,সংখ্যা দুটি ২০ ও ১০
সংখ্যা দুটির যোগফল = ২০+১০ = ৩০
দুইটি সংখ্যার বিয়োগফল = ২০-১০ = ১০
সংখ্যা দুইটির অনুপাত = ২০:১০ = ২:১

১৩. ৯,৮০০ টাকা ২ : ৩ : ৪ : ৫ অনুপাতে ভাগ করলে বৃহত্তর ও ক্ষুদ্রতর অংশের পার্থক্য কত হবে ? [খাদ্য পরিদর্শক পরীক্ষা-২০১১]

(ক) ২১০০ টাকা (খ) ২২০০ টাকা (গ) ৩৪০০ টাকা (ঘ) ৭০০ টাকা

উত্তরঃ (ক) ২১০০ টাকা

Explanation: অনুপাতের সংখ্যাগুলোর যোগফল = ২+৩+৪+৫ = ১৪
বৃহত্তম অংশ = ৯৮০০ টাকার $\frac{৫}{১৪}$ = ৩৫০০ টাকা
ক্ষুদ্রতম অংশ = ৯৮০০ টাকার $\frac{২}{১৪}$ = ১৪০০ টাকা
বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম অংশের পার্থক্য হবে = ৩৫০০ - ১৪০০ = ২১০০ টাকা

১৪. দুটি রাশির অনুপাত ৮:১৫ । পূর্ব রাশির ৪০ হলে, উত্তর রাশি কত ? [প্রাথমিক বিদ্যালয় সহকারী শিক্ষক(মুক্তিযোদ্ধা) নিয়োগ-২০১০(বসন্ত) ]

(ক) ১৫ (খ) ৪৫ (গ) ৭৫ (ঘ) ১২০

উত্তরঃ (গ) ৭৫

Explanation: পূর্ব রাশির অনুপাত ৮ = ৪০
অনুপাত ১ = ৪০÷৮ = ৫
উত্তর রাশির অনুপাত ১৫ = ৫×১৫ = ৭৫
সুতরাং উত্তর রাশি = ৭৫

১৫. একজন লোক সপ্তাহে ৪,৫০০টাকা আয় করেন এবং ৩,০০০ টাকা ব্যয় করেন। তাঁর আয়ের সঙ্গে সঞ্চয়ের অনুপাত হবে । [প্রাথমিক বিদ্যালয় সহকারী শিক্ষক নিয়োগ-২০১২(কর্ণফুলী) ]

(ক) ৩:২ (খ) ৩:১ (গ) ২:১ (ঘ) ৫:১

উত্তরঃ (খ) ৩:১

Explanation: সঞ্চয় = ৪৫০০-৩০০০ = ১৫০০ টাকা
আয়:সঞ্চয় = ৪৫০০:১৫০০ = ৩:১

১৬. দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫:৮ । ছোট সংখ্যাটি ৬৫ হলে, বড় সংখ্যাটি কত ? [প্রাথমিক বিদ্যালয় সহকারী শিক্ষক(মুক্তিযোদ্ধা) নিয়োগ-২০১০(হেমন্ত) ]

(ক) ৯১ (খ) ১০৪ (গ) ১১৭ (ঘ) ৪০

উত্তরঃ (খ) ১০৪

Explanation: ছোট সংখ্যাটির অনুপাত ৫ = ৬৫
অনুপাত ১ = ৬৫÷৫ = ১৩
অনুপাত ৮ = ১৩×৮ = ১০৪
বড় সংখ্যাটি = ১০৪

১৭. দুইটি রাশির অনুপাত ৪:৭। পূর্ব রাশি ২৪ হলে, উত্তর রাশি কত ? [প্রাথমিক বিদ্যালয় সহকারী শিক্ষক(মুক্তিযোদ্ধা) নিয়োগ-২০১০(হেমন্ত)]

(ক) ৪২ (খ) ৪৯ (গ) ৫৬ (ঘ) ৬৪

উত্তরঃ (ক) ৪২

Explanation: পূর্ব রাশির অনুপাত ৪ = ২৪
অনুপাত ১ = ২৪÷৪ = ৬
উত্তর রাশির অনুপাত ৭ = ৬×৭ = ৪২
সুতরাং উত্তর রাশি = ৪২

১৮. একজন ব্যবসায়ী প্রতি কেজি ৮০ টাকা দরের চা- এর সঙ্গে প্রতি কেজি ১০০ টাকা দরের চা ১:৩ অনুপাতে মিশ্রিত করেন। প্রতি কেজি মিশ্রিত চা - এর দর কত হবে ? [ প্রাথমিক প্রধান শিক্ষক(চট্রগ্রাম)-২০০৬]

(ক) ৮৫ টাকা (খ) ৯০ টাকা (গ) ৯২ টাকা (ঘ) ৯৫ টাকা

উত্তরঃ (ঘ) ৯৫ টাকা

Explanation: মনে করি, ৮০ টাকা দরের চা = ১ কেজি
১০০ টাকা দরের চা = ৩ কেজি
১০০ টাকা দরের ৩ কেজি চা এর দাম = ৩০০ টাকা
১+৩ = ৪ কেজি চা এর দাম = ৮০+৩০০ = ৩৮০ টাকা
প্রতি কেজি মিশ্রিত চা এর দর হবে = ৩৮০÷৪ = ৯৫ টাকা

১৯. একজন লোক সপ্তাহে ৫০০০ টাকা আয় করেন এবং ৪৫০০ টাকা ব্যয় করেন। তার ব্যয়ের সঙ্গে সঞ্চয়ের অনুপাত হবে- [প্রাথমিক বিদ্যালয় সহকারী শিক্ষক নিয়োগ-২০১২(সুরমা) ]

(ক) ৯:১ (খ) ১:৯ (গ) ১০:৯ (ঘ) ৫:১

উত্তরঃ (ক) ৯:১

Explanation: সঞ্চয় = ৫০০০-৪৫০০ = ৫০০ টাকা
ব্যয়:সঞ্চয় = ৪৫০০:৫০০ = ৯:১

২০. একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত ৩:৪:৫ হলে কোণ তিনটির মান কত ? [থানা সহকারী শিক্ষা অফিসার-২০১০]

(ক) ৪৫ ডিগ্রি,৬০ ডিগ্রি,৭৫ ডিগ্রি (খ) ৩০ ডিগ্রি ,৬০ ডিগ্রি ,৯০ ডিগ্রি (গ) ৬০ ডিগ্রি ,৯০ ডিগ্রি,৩০ ডিগ্রি (ঘ) ৯০ ডিগ্রি ,৪৫ ডিগ্রি ,৪৫ ডিগ্রি

উত্তরঃ (ক) ৪৫ ডিগ্রি,৬০ ডিগ্রি,৭৫ ডিগ্রি

Explanation: আমরা জানি, ত্রিভুজের তিনটি কোণের সমষ্টি = ১৮০ ডিগ্রি
অনুপাতের সংখ্যাগুলোর যোগফল = ৩+৪+৫ = ১২
১ম কোণ = ১৮০ ডিগ্রি এর $\frac{৩}{১২}$ = ৪৫ ডিগ্রি
২য় কোণ = ১৮০ ডিগ্রি এর $\frac{৪}{১২}$ = ৬০ ডিগ্রি
৩য় কোণ = ১৮০ ডিগ্রি এর $\frac{৫}{১২}$ = ৭৫ ডিগ্রি

২১. মাধ্যমিক স্কুলের একটি শ্রেণীতে ছাত্র ও ছাত্রীদের অনুপাত ৬:৫ ঐ শ্রেণীতে মোট ছাত্রছাত্রীদের ৭৭ হলে ছাত্রী সংখ্যা কত ? [বিআরসি এর অফিসার পরীক্ষা-২০০০]

(ক) ৩০ (খ) ৩৫ (গ) ৪০ (ঘ) ৪৫

উত্তরঃ (খ) ৩৫

Explanation: অনুপাতের সংখ্যাগুলোর যোগফল = ৬+৫ = ১১
ছাত্রী সংখ্যা = ৭৭ এর $\frac{৫}{১১}$ = ৩৫

২২. একটি পাত্র দুধ ও পানির অনুপাত ৫ :২। যদি পানি অপেক্ষা দুধের পরিমাণ ৬ লিটার বেশি হয় তবে পানির পরিমাণ- [১২তম বিসিএস]

(ক) ১৪ লিটার (খ) ৬ লিটার (গ) ১০ লিটার (ঘ) ৪ লিটার

উত্তরঃ (ঘ) ৪ লিটার

Explanation: পানি অপেক্ষা দুধের অনুপাত বেশী = ৫-২ = ৩
অর্থাৎ অনুপাত ৩ বেশী = ৬ লিটার
অনুপাত ১ = ৬÷৩ = ২ লিটার
অনুপাত ২ = ২×২ = ৪ লিটার

২৩. চতুর্ভুজের চার কোণে অনুপাত ১:২:২:৩ হলে বৃহত্তম কোণের পরিমাণ হবে কত ? [১৬তম বিসিএস]

(ক) ১৩৫ ডিগ্রি (খ) ১৩৬ ডিগ্রি (গ) ১৩৭ ডিগ্রি (ঘ) ১৩৮ ডিগ্রি

উত্তরঃ (ক) ১৩৫ ডিগ্রি

Explanation: অনুপাতের সংখ্যাগুলোর যোগফল = ১+২+২+৩ = ৮
বৃহত্তম কোণের পরিমাণ হবে = ৩৬০ ডিগ্রি এর $\frac{৩}{৮}$ = ১৩৫ ডিগ্রি

২৪. দুটি বৃত্তের ব্যসার্ধের অনুপাত ৩:২। বৃত্ত দুটির ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত হবে ? [রেলওয়ে সহকারী কমান্ডেন্ট পরীক্ষা-২০০৭]

(ক) ২:৩ (খ) ৩:৪ (গ) ৪:৯ (ঘ) ৯:৪

উত্তরঃ (ঘ) ৯:৪

Explanation: $\frac{প্রথম বৃত্তের ক্ষেত্রফল}{দ্বিতীয় বৃত্তের ক্ষেত্রফল}$ = $\frac{{(π(৩))}^{২}}{{(π(২))}^{২}}$ = $\frac{৯}{৪}$ = ৯:৪

২৫. দুইটি রাশির অনুপাত ৯:১৫। পূর্ব রাশি ৩৬ হলে উত্তর রাশি কত ? [ পাসপোর্ট অধিদপ্তরের সহকারী পরিচালক-১৯৯৪]

(ক) ২০ (খ) ৪০ (গ) ৬০ (ঘ) ৭৫

উত্তরঃ (গ) ৬০

Explanation: পূর্ব রাশির অনুপাত ৯ = ৩৬
অনুপাত ১ = ৩৬÷৯ = ৪
উত্তর রাশির অনুপাত ১৫ = ১৫×৪ = ৬০
সুতরাং উত্তর রাশি = ৬০

২৬. একজন লোক সপ্তাহে ২২০০ টাকা আয় করেন এবং ১৬৫০ টাকা ব্যয় করেন। তার সঞ্চয়ের সঙ্গে আয়ের অনুপাত কত ? [প্রাথমিক প্রধান শিক্ষক (ঢাকা)-২০০৮]

(ক) ১:৪ (খ) ২:৩ (গ) ৩:৪ (ঘ) ৪:৫

উত্তরঃ (ক) ১:৪

Explanation: সঞ্চয় = ২২০০-১৬৫০ = ৫৫০ টাকা
সঞ্চয়:আয় = ৫৫০:২২০০ = ১:৪

২৭. ক :খ = ৪:৫ , খ:গ = ২:৩ এবং ক = ৮০০ হলে, গ = কত? [ রেলওয়ে উপ-সহকারী -২০১৩]

(ক) ২০০ (খ) ১৫০০ (গ) ১২০০ (ঘ) ১৮০০

উত্তরঃ (খ) ১৫০০

Explanation: ক:খ = ৪:৫ = ৮:১০
খ :গ = ২:৩ = ১০:১৫
সুতরাং ক:গ = ৮ :১৫
বা, $\frac{ক}{গ}$ = $\frac{৮}{১৫}$
বা, $\frac{৮০০}{গ}$ = $\frac{৮}{১৫}$ [ দেওয়া আছে ক = ৮০০ ]
বা, ৮×গ = ৮০০×১৫
বা, গ = $\frac{৮০০×১৫}{৮}$
বা, গ = ১৫০০

২৮. ৪:ক = ২:৭ হলে, ক এর মান কত? [ সরকারি মাধ্যমিক প্রধান শিক্ষক পরীক্ষা-২০০০]

(ক) ৮ (খ) ১৪ (গ) ২১ (ঘ) ১৮

উত্তরঃ (খ) ১৪

Explanation:
৪:ক = ২:৭
বা, $\frac{৪}{ক}$ = $\frac{২}{৭}$
বা, ২×ক = ৭×৪
বা, ক = $\frac{৭×৪}{২}$
বা, ক = ১৪

২৯. ৩:৭ = ১২:x হলে x এর মান কত? [সরকারি মাধ্যমিক সহকারী শিক্ষক পরীক্ষা-১৯৯৯]

(ক) ২৬ (খ) ২৮ (গ) ৩০ (ঘ) ৩২

উত্তরঃ (খ) ২৮

Explanation:
৩:৭ = ১২:x
বা, $\frac{৩}{৭}$ = $\frac{১২}{x}$
বা, ৩× x = ১২×৭
বা, x = $\frac{১২×৭}{৩}$
বা, x = ২৮

৩০. যদি a:b = ২:৩ এবং b:c = ৬:৭ হয় ,তবে a:c = কত? [ থানা শিক্ষা কর্মকর্তা -২০১০]

(ক) ২:৬ (খ) ৩:৭ (গ) ২:৭ (ঘ) ৪:৭

উত্তরঃ (ঘ) ৪:৭

Explanation: a:b = ২:৩ = ১২:১৮
b:c = ১৮:২১
সুতরাং a:c = ১২:২১ = ৪:৭

৩১. এক ব্যক্তির মাসিক আয় ও ব্যয়ের অনুপাত ৫ঃ৩ এবং তার মাসিক সঞ্চয় ১০০০০ টাকা হলে তিনি মাসিক কত টাকা ব্যয় করেন? [ প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক-২০১৯(৪র্থ ধাপ)]

(ক) ২০০০০ (খ) ২৫০০০ (গ) ১৫০০০ (ঘ) ১০০০০

উত্তরঃ (গ) ১৫০০০

Explanation: তার সঞ্চয়ের অনুপাত = ৫ -৩ = ২
অনুপাত ২ এর সমান ১০০০০ টাকা
অনুপাত ১ এর সমান ১০০০০÷২ = ৫০০০ টাকা
অনুপাত ৩ এর সমান ৫০০০×৩ = ১৫০০০ টাকা [ কারণ তার ব্যয়ের অনুপাত ৩ দেওয়া আছে ]

৩২. ৩৫ লিটার দ্রবণে পানি এবং সিরাপের অনুপাত ৩ : ৪। দ্রবণে কত লিটার সিরাপ আছে ? [ খাদ্য পরিদর্শক-২০০১]

(ক) ৮ লিটার (খ) ১০ লিটার (গ) ১২ লিটার (ঘ) ২০ লিটার

উত্তরঃ (ঘ) ২০ লিটার

Explanation: অনুপাতের সংখ্যাদ্বয়ের যোগফল = ৩+৪ = ৭
সিরাপ আছে = ৩৫ লিটারের $\frac{৪}{৭}$ = ২০ লিটার

৩৩. ৬৩ লিটার পরিমাণ মিশ্রণে এসিড ও পানির অনুপাত ৭:২। এ মিশ্রণে এসিড ও পানির পরিমাণ কত ? [ রেজিস্টার্ড প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক নিয়োগ-২০১১(শিউলি) ]

(ক) ৩৯ লি.,২৪ লি. (খ) ৪৯ লি, ১৪ লি. (গ) ২৪ লি, ৩৯ লি . (ঘ) ২৯ লি,৩৪ লি .

উত্তরঃ (খ) ৪৯ লি, ১৪ লি.

Explanation: অনুপাতের সংখ্যাদ্বয়ের যোগফল = ৭+২ = ৯
এসিডের পরিমাণ = ৬৩ লিটারের $\frac{৭}{৯}$ = ৪৯ লিটার
পানির পরিমাণ = ৬৩ লিটারের $\frac{২}{৯}$ = ১৪ লিটার

৩৪. ৬০ মিটার দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট একটি নলকে ৩:৭:১০ অনুপাতে টুকরা করা হয়েছে। ছোট টুকরাটির দৈর্ঘ্য কত ? [ উপজেলা পরিসংখ্যান কর্মকর্তা পরীক্ষা – ২০১০]

(ক) ৯ মিটার (খ) ৭ মিটার (গ) ১১ মিটার (ঘ) ১০ মিটার

উত্তরঃ (ক) ৯ মিটার

Explanation: অনুপাতের সংখ্যাদ্বয়ের যোগফল = ৩+৭+১০ = ২০
ছোট টুকরাটির দৈর্ঘ্য = ৬০ মিটারের $\frac{৩}{২০}$ = ৯ মিটার

৩৫. ৭২ কেজি ওজনবিশিষ্ট একটি মিশ্রণ ক এর ১৭ ভাগ, খ এর ৩ ভাগ এবং গ এর ৪ ভাগ দ্বারা গঠিত। মিশ্রণে খ কতটুকু আছে ? [২৩ তম বিসিএস]

(ক) ৯ কেজি (খ) ১২ কেজি (গ) ১৭ কেজি (ঘ) ৫১ কেজি

উত্তরঃ (ক) ৯ কেজি

Explanation: অনুপাতের সংখ্যাদ্বয়ের যোগফল = ১৭+৩+৪ = ২৪
মিশ্রণে খ আছে = ৭২ কেজির $\frac{৩}{২৪}$ = ৯ কেজি

৩৬. কোন ব্যবসায় ক, খ, গ এর মূলধন যথাক্রমে ৩২০,৪০০ এবং ৪৮০ টাকা। তাদের মূলধনের অনুপাত কত ? [ সহকারী উপ খাদ্য পরিদর্শক-২০১১]

(ক) ৩:৪:৫ (খ) ৪:৫:৬ (গ) ৬:৮:১২ (ঘ) ৬:৯:১৫

উত্তরঃ (খ) ৪:৫:৬

Explanation: ৩২০:৪০০:৪৮০ = ৪:৫:৬ [৮০ দ্বারা ভাগ করে]

৩৭. একজন পুরুষ ও একজন মহিলা পুরস্কারের ১০০০ টাকা ১:৪ অনুপাতে ভাগ করে। মহিলা তাঁর অংশের টাকা নিজের , তাঁর মা ও তাঁর মেয়ের মধ্যে ২:১:১ অনুপাতে ভাগ করলে মেয়ে কত টাকা পাবে ? [প্রাথমিক প্রধান শিক্ষক(খুলনা)-২০০৯]

(ক) ১৫০ টাকা (খ) ২০০ টাকা (গ) ২৫০ টাকা (ঘ) ২৭৫ টাকা

উত্তরঃ (খ) ২০০ টাকা

Explanation: পুরস্কারের অনুপাতের যোগফল = ১+৪ = ৫
মহিলা ১০০০ টাকার মধ্যে পায় = ১০০০ টাকার $\frac{৪}{৫}$ = ৮০০ টাকা
মহিলার ভাগকৃত অনুপাতের সংখ্যাগুলোর যোগফল = ২+১+১ = ৪
মহিলার মেয়ে পাবে = ৮০০ টাকার $\frac{১}{৪}$ = ২০০ টাকা

৩৮. সাদেক ও আজিজ সাহেবের মাসিক বেতনের অনুপাত ৭:৫ এবং তাদের মাসিক বেতনের সমষ্টি ১২,০০০ টাকা। তাদের বার্ষিক বর্ধিত বেতন যথাক্রমে ২০০ টাকা ও ১৫০ টাকা হলে এক বছর পরে তাদের বেতনের অনুপাত কত হবে ? [ উপজেলা মহিলা ও শিশু বিষয়ক কর্মকর্তা পরীক্ষা -২০০৭]

(ক) ১২০:১০৩ (খ) ১৪৪:১০৩ (গ) ১৪৪:১০৪ (ঘ) ১৪৪:১০৫

উত্তরঃ (খ) ১৪৪:১০৩

Explanation: সাদেক সাহেবের বেতন = ১২,০০০ টাকার $\frac{৭}{১২}$ = ৭০০০ টাকা
আজিজ সাহেবের বেতন = ১২,০০০ টাকার $\frac{৫}{১২}$ = ৫০০০ টাকা
এক বছর পরে সাদেক সাহেবের বেতন = ৭০০০+২০০ = ৭২০০ টাকা
এক বছর পরে আজিজ সাহেবের বেতন = ৫০০০+১৫০ = ৫১৫০ টাকা
এক বছর পরে তাদের বেতনের অনুপাত = ৭২০০:৫১৫০ = ১৪৪:১০৩[৫০ দ্বারা ভাগ করে]

৩৯. ক, খ ও গ ২৮০ টাকা নিয়ে কারবার শুরু করল। ক, খ - এর চেয়ে ৪৫ টাকা বেশি এবং খ, গ এর চেয়ে ৭০ টাকা কম দিয়েছে। কারবারে ৫৬ টাকা লাভ হলে, ক কত লাভ পাবে ? [ দুর্নীতি দমন পরিদর্শক পরীক্ষা-১৯৮৪]

(ক) ২০ টাকা (খ) ২৫ টাকা (গ) ১৫ টাকা (ঘ) ৩০ টাকা

উত্তরঃ (ক) ২০ টাকা

Explanation: মনে করি, ক দিয়েছে = x টাকা,খ দিয়েছে = x-৪৫ টাকা, গ দিয়েছে = x-৪৫+৭০ টাকা
প্রশ্নমতে, x+ x-৪৫+ x-৪৫+৭০ = ২৮০ টাকা
বা,৩x-২০ = ২৮০ টাকা
বা,৩x = ২৮০+২০ = ৩০০ টাকা
বা, x = ৩০০÷৩ = ১০০
ক দিয়েছে = ১০০ টাকা
খ দিয়েছে = ১০০-৪৫ = ৫৫ টাকা
গ দিয়েছে = ১০০-৪৫+৭০ = ১৭০-৪৫ = ১২৫ টাকা
তাদের মূলধনের অনুপাত = ১০০:৫৫:১২৫ = ২০:১১:২৫
অনুপাতের সংখ্যাগুলোর যোগফল = ২০+১১+২৫ = ৫৬
সুতরাং ‘ক’ লাভ পাবে = ২০ টাকা

৪০. ৭,৫০০ টাকাকে ১:২:৩:৪:৫ অনুপাতে ভাগ করলে বৃহত্তর ও ক্ষুদ্রতর অংশের পার্থক্য কত হবে ? [ থানা ও জেলা সেবা অফিসার-১৯৯৯]

(ক) ৫০০ (খ) ১০০০ (গ) ২০০০ (ঘ) ৩০০০

উত্তরঃ (গ) ২০০০

Explanation: অনুপাতের সংখ্যাগুলোর যোগফল = ১+২+৩+৪+৫ = ১৫
বৃহত্তম অংশ = ৭৫০০ টাকার $\frac{১}{১৫}$ = ৫০০ টাকা
ক্ষুদ্রতম অংশ = ৭৫০০ টাকার $\frac{৫}{১৫}$ = ২৫০০ টাকা
বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম অংশের পার্থক্য হবে = ২৫০০ - ৫০০ = ২১০০ টাকা

৪১. দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫:৮। উভয়ের সাথে ২ যোগ করলে অনুপাতটি ২:৩ হয়। সংখ্যা দুটি কি কি ? [প্রাক প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক -২০১৩ (শীতলক্ষা)]

(ক) ৭ ও ১১ (খ) ১২ ও ১৮ (গ) ১০ ও ২৪ (ঘ) ১০ ও ১৬

উত্তরঃ (ঘ) ১০ ও ১৬

Explanation: ৫:৮ এ যে অনুপাতটি থাকবে সেটিকেই প্রথমে বেছে নিতে হবে।তারপর যাচাই করতে হবে।এখানে ,১০ ও ১৬ এর সাথে ২ যোগ করলে ১২:১৮ = ২:৩ হয়।

৪২. দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫:৬ এবং তাদের গ. সা. গু ৪ হলে সংখ্যা দুইটির ল. সা. গু কত ? [জাতীয় সঞ্চয় পরিদপ্তরের সহকারী পরিচালক পরীক্ষা-২০০৯]

(ক) ৯০ (খ) ১১০ (গ) ১২০ (ঘ) ১৩০

উত্তরঃ (গ) ১২০

Explanation: মনে করি, দুইটি সংখ্যা যথাক্রমে ৫ক ও ৬ক।
এদের ল. সা. গু ও গ. সা. গু যথাক্রমে ৩০ক ও ক।
প্রশ্নমতে, ক = ৪
বা ৩০ক = ১২০
∴সংখ্যা দুইটির ল. সা. গু = ১২০
বিকল্প নিয়ম: এরকম সমস্যা হলে সরাসরি গুণ করলেই ফলাফল বের হয়ে আসবে। যেমন ৫×৬×৪ = ১২০।

৪৩. দুটি সংখ্যার যোগফল ৮। যদি সংখ্যাগুলো ৩:১ অনুপাতে থাকে তবে সংখ্যাগুলোর গুণফল হবে কত ? [ হিসাব রক্ষণ কর্মকর্তা-১৯৯৬]

(ক) ৯ (খ) ১০ (গ) ১১ (ঘ) ১২

উত্তরঃ (ঘ) ১২

Explanation: যেহেতু দুটি সংখ্যার যোগফল ৮।তাই ৩:১ কে ২ দ্বারা গুণ করলে ৬:২ হবে। তখন যোগফল ও ৮ হবে এবং সংখ্যা দুটির গুণফল ১২ হবে।

৪৪. মনির ও তপনের আয়ের অনুপাত ৪:৩।তপন ও রবিনের আয়ের অনুপাত ৫:৪।মনিরের আয় ১২০ টাকা হলে, রবিনের আয় কত? [ প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক-২০১৯(৪র্থ ধাপ)]

(ক) ৭৫ টাকা (খ) ৭৮ টাকা (গ) ৮০ টাকা (ঘ) ৭২ টাকা

উত্তরঃ (ঘ) ৭২ টাকা

Explanation: এখানে, উভয় অনুপাতে তপনের আয়কে সমান করতে হবে গুণ করে।
মনির ও তপনের আয়ের অনুপাত ৪:৩ = ৪×৫:৩×৫ = ২০:১৫
তপন ও রবিনের আয়ের অনুপাত ৫:৪ = ৫×৩:৪×৩ = ১৫ :১২
সুতরাং মনির , তপন ও রবিনের আয়ের অনুপাত = ২০:১৫:১২
= ২০×৬ :১৫×৬:১২:৬ [ অনুপাতকে ৬ দ্বারা গুণ করে ]
= ১২০:৯০:৭২
অনুপাত হতে দেখা যাচ্ছে, মনিরের আয় ১২০ টাকা হলে, রবিনের আয় = ৭২ টাকা

৪৫. শামীমের আয় ও ব্যয়ের অনুপাত ২০:১৫ হলে তার মাসিক সঞ্চয় আয়ের শতকরা কত ভাগ? [ প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক-২০১৯(৪র্থ ধাপ)]

(ক) ২৫% (খ) ৩০% (গ) ২০% (ঘ) ১৫%

উত্তরঃ (ক) ২৫%

Explanation: শামীমের আয় ও ব্যয়ের অনুপাত ২০:১৫
শামীমের সঞ্চয় = ২০ - ১৫ = ৫
সুতরাং মাসিক সঞ্চয় আয়ের = $\frac{৫}{২০}$ = $\frac{৫}{২০}$ ×১০০ = ২৫%