সরল সমীকরণ-বীজগণিত || সংজ্ঞা, সূত্রাবলী এবং MCQ অনুশীলনসহ এ টু জেড

সরল সমীকরণ হলো গণিতের একটি মৌলিক বিষয়। সহজভাষায় বলতে গেলে, সরল সমীকরণ হলো একটি গণিতিক সমীকরণ যা একটি বা একাধিক অজানা পরিমাণের বাক্যাংশকে বর্ণনা করে একটি পরিমাণ নির্ণয় করতে ব্যবহার করা হয়। এই আর্টিকেলের উদ্দেশ্য হলো সরল সমীকরণের স্পষ্ট ধারণা ও ব্যবহার সম্পর্কে আলোচনা করা। প্রথমে আমরা সরল সমীকরণ সম্পর্কে স্পষ্টতা সাধারণ উদাহরণগুলি দিয়ে ব্যাখ্যা করব। তারপরে আমরা সরল সমীকরণের গঠন এবং মান নির্ণয়ের পদ্ধতি নিয়ে আলোচনা করব। তাছাড়া আমরা সরল সমীকরণের বিভিন্ন ধরণ ও ব্যবহার সম্পর্কে আলোচনা করব । অত:পর বিগত সালের প্রশ্ন সমাধান করতে করতে অধ্যায়টি সম্পর্কে স্পষ্ট ধারণা নিব । চলুন তাহলে শুরু করা যাক ।

প্রাথমিক আলোচনা
সরল সমীকরণ কাকে বলে?
কিছু উপকারী কৌশল
সাধারণ সমীকরণ
সংখ্যার সমীকরণ
ভগ্নাংশের সমীকরণ
সমীকরণ সাজিয়ে সমাধান

প্রাথমিক আলোচনা

এই অধ্যায়টি খুবই গুরুত্বপূর্ণ। কেননা এখান থেকে প্রশ্ন আসবেই। আবার পাটিগণিতের যে অংকগুলো প্রতীক ধরে ধরে করা হয়। সেগুলো এই অধ্যায়েরই অংক। ( = ) চিহ্ন দ্বারা একটি রাশির সাথে অপর একটি রাশির সমতার সম্পর্ককে সমীকরণ বলা হয়।

নিচের সমীকরণ দুটি দেখুন:
ক. 5x - 18 = 14
খ. 2x = 4 সমীকরণে বামপক্ষে একটি অজ্ঞাত বীজগণিতীয় প্রতীক থাকে। উপরের উদাহরণ দুটি অজ্ঞাত প্রতীক x. অজ্ঞাত প্রতীক হিসাবে সাধারণ ইংরেজি বর্ণমালার x, y, z, অক্ষরগুলো ব্যবহৃত হয়।

সমীকরণের বীজ : সমীকরণ থেকে অজ্ঞাত প্রতীকের প্রাপ্ত মানকে প্রদত্ত সমীকরণের বীজ বলা হয়।
5x − 18 = 14
বামপক্ষ = ডানপক্ষ
সমীকরণে (=) চিহ্নের বামপাশের রাশি হল বামপক্ষ এবং ডানপক্ষ রাশি হল ডানপক্ষ ।
সমীকরণের সমাধান : সমীকরণের বীজ নির্ণয় করার প্রক্রিয়াকে সমীকরণের সমাধান বলা হয় ৷
সরল সমীকরণ : যে সমীকরণে একঘাতবিশিষ্ট একটি মাত্র অজ্ঞাত বীজগণিতীয় প্রতীক থাকে তাকে সরল সমীকরণ বলা হয়।
উদাহরণ: 2 (5x - 18) = 14
টিপস: এই অধ্যায়ের অংকগুলো সহজ মনে হলেও লাইনের পর লাইন লিখে করতে করতে অনেক সময় নষ্ট হয়। তাই সবসময় চেষ্টা করুন, কিভাবে কম লিখে বেশি কাজ করা যায় । অর্থাৎ দুই, তিন লাইনের কাজ এক লাইনেই করার চেষ্টা করুন।

সরল সমীকরণ কাকে বলে?

যে সমীকরণে একটি মাত্র অজ্ঞাত রাশি থাকে তাকে একচলকবিশিষ্ট সমীকরণ বা সরল সমীকরণ বলে । এ সম্পর্কে বিস্তর ধারণা নিচে আরো ভালভাবে জানার চেষ্ট করব ।

কিছু উপকারী কৌশল

দ্রুত এই নিয়মের অংকগুলো করার জন্য নিচের কৌশলগুলো অনুসরণ করুন।

১. ধরার সময় ছোট সংখ্যাটি ধরে অংক করার চেষ্টা করুন। যেমন: একটি সংখ্যা অপর সংখ্যার 3 গুণ । তাহলে ছোট সংখ্যাটি x এবং বড় সংখ্যাটি ৩x .
২. যথাসম্ভব ভগ্নাংশকে এড়িয়ে চলার চেষ্টা করুন। যেমন: একটি সংখ্যা আরেকটি সংখ্যার অর্ধেক। এভাবে আসলে যে সংখ্যাটি অর্ধেক তা ছোট তাই তাকে x ধরুন। তাহলে বড়টি হবে 2x, কেননা, ১৫ সংখ্যাটি ৩০ এর অর্ধেক হলে স্বাভাবিকভাবেই ৩০ সংখ্যাটি ১৫ এর দ্বিগুণ। বড় সংখ্যাটি x ধরলে ছোট সংখ্যাটি হবে - $\frac{x}{2}$ যেভাবে অংক করা আসলেই কঠিন।
৩. সমীকরণ সাজানোর সময় দুপাশের মানকে সমান সমান বানান । সমান না হলে সঠিক উত্তর আসবে না । যেমন: বর্তমানে পিতার বয়স পুত্রের বয়সের ৫গুণ, ৫ বছর পর পিতার বয়স পুত্রের বয়সের ৩গুণ হবে। পুত্রের বর্তমান বয়স কত?
ধরি, পুত্রের বর্তমান বয়স X সুতরাং পিতার বর্তমান বয়স 5x এখন ৫ বছর পর পুত্রের বয়স হবে x+5 এবং পিতার বয়স হবে 5x+5 এ পর্যন্ত লিখার পর সমীকরণ সাজাতে হবে।
প্রশ্নমতে, 3(x+5) = 5x + 5 (যে কোন সমীকরণের অংকে এই লাইনটি সাজাতেই মাথা খাঁটাতে হবে।)
এখানে না বুঝে শুধু প্রশ্ন পড়ে লিখলে মনে হবে পিতার বয়সের সাথে ৩ গুণ করে দেই? কিন্তু মনে রাখবেন = চিহ্ন হল একটি দাঁড়িপাল্লার দাঁড়ির মত । যার দুপাশে সমান ভারবাহী উপাদান থাকতে হবে। এখানে ৫ বছর পর পুত্র এবং পিতার বয়স = এর দুপাশে লিখলে হয় x+5 = 5x+5 --- যেখানে পিতার বয়স আগে থেকেই ৩ গুণ বেশি আছে, তাই পুত্রের বয়সের সাথে ৩ গুণ করলে দাঁড়িপাল্লাটি সমান হবে। কিন্তু ভুল করে পিতার সাথে আবার ৩ গুণ করলে ভাড়ী পাল্লাটি আরো বেশি ভাড়ী হবে এবং ভুল উত্তর আসবে।
নিচের অংকটি দেখে বুঝুন এই বিষয়টি বার বার আসবে। তাই এখান থেকে সম্পূর্ণ বুঝে নিন ।

১. একটি কলম ও একটি বইয়ের মোট দাম 95 টাকা। কলমটির দাম 15 টাকা বেশি ও বইটির দাম 14 টাকা কম হলে কলমটি বইয়ের দামের 2 গুণ হতো। একটি কলমের দাম কত? [ সরকারী মাধ্যমিক বিদ্যালয় সহ: শিক্ষক-০৯ ]

(ক) ৪০ টাকা (খ) ৪৯ টাকা (গ) ৫৫ টাকা (ঘ) ৬০ টাকা

উত্তরঃ (খ) ৪৯ টাকা

Explanation:
ধরি, কলমের দাম = x টাকা (সমষ্টি দেয়া থাকলে একটি ধরতে হয় এবং অন্যটি সমষ্টি থেকে বিয়োগ করতে হয়।)
বইয়ের দাম = 95 - x টাকা
প্রশ্নমতে, (x + 15) = 2(95 - x - 14 )
বা, x + 15 = 190 - 2x - 28
বা, 3x = 162 - 15
বা, 3x = 147
বা, x = 147
X = 49
সুতরাং একটি কলমের দাম ৪৯ টাকা

প্রশ্ন একটু ঘুরিয়ে দিলে সমীকরণ প্রশ্নের যুক্তি অনুযায়ী সাজাতে হবে (আগে থেকেই মুখস্থ কোন ধারণা প্রয়োগ করা যাবে না ।

২. একটি কলম ও একটি বইয়ের মূল্য একত্রে ৯৫ টাকা । কলমটির মূল্য ১৫ টাকা বেশি এবং বইটির মূল্য ১৪ টাকা কম হলে কলমটির মূল্য বইটির মূল্যের দ্বিগুণ হতো । বইটির মূল্য কত টাকা? [প্রাই: সহ:শি: নি: পরীক্ষা-২০১৪ (অনু:২০১৮)]+ [কৃষি সম্প্রসারণ অধিদপ্তর- (অফি: সহ:+টাইপিস্ট)-২০১৮]

(ক) ৪০ টাকা (খ) ৪৯ টাকা (গ) ৪৬ টাকা (ঘ) কোনোটিই নয়

উত্তরঃ (গ) ৪৬ টাকা

Explanation:
ধরি,
বইয়ের মূল্য = X
সুতরাং কলমের মূল্য = ৯৫ - X
প্রশ্নমতে,
(৯৫ - x +১৫) = ২(x-১৪) [ কম বেশি করার পর কলমের দাম দ্বিগুন অর্থাৎ বইয়ের দাম অর্ধেক, তাই বইয়ের দামের সাথে ২ গুণ করলে কলম ও বইয়ের দাম সমান সমান হবে । ]
বা, ১১০ - x = ২x - ২৮
বা, -৩x = -১৩৮
.. x = ৪৬
সুতরাং বইয়ের মূল্য = ৪৬ টাকা ।
শুদ্ধি পরীক্ষা : বই= ৪৬টাকা, তাহলে কলম = ৯৫-৪৬ = ৪৯টাকা এখন ৪৯+১৫ = ৬৪ টাকা হলো ৪৬- ১৪ = ৩২ টাকার দ্বিগুণ ।

৪. আড়াআড়ি গুণ করার সময় যে পাশে গুণ করলে x এর মান বড় হবে সেপাশে আগে গুণ করুন। যেমন: $\frac{x}{2} = \frac{x + 3}{4}$ কে 2x+6 = 4x না লিখে এভাবে লিখুন 4x = 2x + 3 অথবা সরাসরি 4x - 2x = 3, তাহলে ১ লাইন কম লিখেই উত্তর বের করা সম্ভব হবে ।
৫. ছোট ছোট যোগ বিয়োগ গুণ ভাগ না লিখে মুখে মুখে করে ফলাফল বসান। যেমন: 4x + 9 = 15+ 3x কে 4x - 3x = 15 - 9 বা x = 6 এভাবে ৩ লাইনে না লিখে মাঝের লাইনের কাজটি মুখে মুখে করে ফেলুন এবং সরাসরি উত্তর বসান x = 6 (সমীকরণের অংক গুলোতে কম লিখে বেশি কাজ করতে হবে)
৬. এমসিকিউ পরীক্ষায় সহজ অংকগুলোর অপশন থেকে মান বসিয়ে বের করুন ।
৭. আবার একটি সংখ্যা আরেকটি সংখ্যার দেড়গুণ/ আড়ই গুণ হলে ছোট সংখ্যাটিকে শুধু x না ধরে মাথা খাঁটিয়ে 2x এবং অন্যটিকে 3x বা 5x ধরে করলে ভগ্নাংশের ঝামেলা এড়িয়ে যাওয়া যাবে। (বিস্তারিত ভগ্নাংশের সমীকরণ পদ্ধতিতে)

সাধারণ সমীকরণ

সাধারণ সরল সমীকরণের অংকগুলোতে প্রশ্নের মধ্যেই সমীকরণ সাজিয়ে দেয়া থাকবে, এক্ষেত্রে সমীকরণের বাম পাশে অজানা রাশিগুলোকে যেমন (x, y, a, b ) রেখে ডানপাশে অন্য সংখ্যাগুলোকে রেখে সমাধান করতে হয়। যেহেতু এমসিকিউ প্রশ্নের উত্তর প্রদানের সময় খুব কম থাকে তাই যত কম লিখে সমাধান করা যায় ততই ভাল। কিভাবে কম সময়ে করবেন তা নিচে বুঝিয়ে দেয়া হল ।

৩. x - 6 = 7x - 48 কে সমাধান করলে x এর মান হবে- [ প্রাথমিক বিদ্যালয় প্রধান শিক্ষক (পদ্ম) ২০০৯ ]

(ক) 3 (খ) 5 (গ) - 6 (ঘ) 7

উত্তরঃ (ঘ) 7

Explanation:
x – 6 = 7x - 48
বা, - 6x = 42 [ এখানে মাঝের (x-7x = - 48+6 ) লাইনটি না লিখে সরাসরি করা হয়েছে ]
সুতরাং x = 7

৪. 2x + 15 = 27 - 4x কে সমাধান করলে x এর মান হবে- [ প্রাথমিক বিদ্যালয় প্রধান শিক্ষক (শাপলা) ২০০৯]

(ক) - 1 (খ) 2 (গ) - 2 (ঘ) 3

উত্তরঃ (খ) 2

Explanation:
সরাসরি, 6x = 12
বা, x = 2

৫. x এর মান কত হলে a (x-a) = b (x-b) হবে? [ শ্রম মন্ত্রণালয়ের সহকারী পরিচালক ২০০৫ ]

(ক) 1 (খ) a - b (গ) b - a (ঘ) a + b

উত্তরঃ (ঘ) a + b

Explanation:
a (x-a) = b (x-b)
বা, $ax - a^{2} = bx - b^{2}$
বা, ax - bx = $a^{2} - b^{2}$
বা, x ( a - b ) = ( a + b ) ( a - b )
বা, x = a + b

৬. যদি $(\frac{x}{3} + 1) = (\frac{x}{4} + 1)$ হয়, তবে x এর মান কোনটি? [ টেক্সটাইল ইনষ্টিটিউট ও টেক্সটাইল ইঞ্জিনিয়ারিং কলেজের ইনস্ট্রাক্টর: ২০১৮]

(ক) 3 (খ) 2 (গ) 1 (ঘ) 0

উত্তরঃ (ঘ) 0

Explanation:
$(\frac{x}{3} + 1) = (\frac{x}{4} + 1)$
বা, $\frac{x}{3} = \frac{x}{4} + 1 - 1$
বা, $\frac{x}{3} - \frac{x}{4} = 0$
বা, $\frac{4x - 3x}{12} = 0$
বা, x = 0

৭. (2 + x) + 3 = 3 (x + 2) হলে x এর মান কত? [১৫ তম বিসিএস]

(ক)

- \frac{1}{2}

(খ)

\frac{1}{2}

(গ)

\frac{1}{3}

(ঘ)

\frac{2}{3}

উত্তরঃ (ক) $- \frac{1}{2}$

Explanation:
(2 + x) + 3 = 3 (x + 2)
বা, 2 + x + 3 = 3x + 6
বা, x - 3x = 6 - 2 - 3
বা, -2x = 6 - 5
বা, -2x = 1
বা, 2x = - 1
বা, x = $- \frac{1}{2}$

৮. (2x -1) (x + 3) = 2x (x + 1) হলে, x = কত? [ শ্রম ও কর্মসংস্থান মন্ত্রণালয়ের পরিচালক ২০০৬]

(ক) - 1 (খ) 2 (গ) 3 (ঘ) 1

উত্তরঃ (ঘ) 1

Explanation:
(2x -1) (x + 3) = 2x (x + 1)
বা, ${2x}^{2} + 6x - x - 3 = {2x}^{2} + 2x$
বা, ${2x}^{2} + 6x - x - 3 - {2x}^{2} - 2x = 3$
বা, 3x = 3
বা, x = 1

৯. $\frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1} = 2$ হলে , x এর মান- [35তম বিসিএস]

(ক) 1 (খ) 2 (গ) 3 (ঘ) 4

উত্তরঃ (গ) 3

Explanation:
$\frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1} = 2$
বা, $\frac{3(x+1) + 4x}{x ( x + 1 )} = 2$
বা, $\frac{3x + 3 + 4x}{(x^{2}, + x)} = 2$
বা, $\frac{7x + 3}{(x^{2}, + x)} = 2$
বা, ${2x}^{2} + 2x = 7x + 3$
বা, ${2x}^{2} + 2x - 7x - 3 = 0$
বা, ${2x}^{2} - 5x - 3 = 0$
বা, ${2x}^{2} - 6x + x - 3 = 0$
বা, 2x(x-3)+1(x-3)= 0
বা,(x-3) (2x+1)= 0
হয় x - 3 = 0
:. x = 3
অথবা, 2x + 1 = 0
বা, 2x = - 1
বা, x = $- \frac{1}{2}$
অপশন অনুযায়ী উত্তর: 3

১০. $a^{2} - 4 a + 3 = 0$ হলে a এর মান কত? [RAKUB (Supervisor)-2017]

(ক) 3 (খ) 1 (গ) 2 (ঘ) ক+খ

উত্তরঃ (ঘ) ক+খ

Explanation:
অপশন থেকে a = 3 বসালে $3^{2} - 4 . 3 + 3$ = 9-12 + 3 = 12-12= 0 হয়। আবার a = 1 বসালেও $1^{2} - 4 . 1 + 3 = 0$ = 1 - 4 +3 = 4 - 4 = 0 হয় তাই উত্তর: ক+খ । এভাবে সমীকরণের দুপাশে সমান করার জন্য যে সংখ্যা নিতে হবে তা ই উত্তর, ( উৎপাদকের নিয়মে করতে গেলে সময় নষ্ট হবে)

১১. $(\frac{5x}{6} + 3) এবং (\frac{x}{3} + 10)$ পরস্পর সমান হলে x এর মান কত? [সমাজসেবা অধিদপ্তরের প্রবেশন অফিসার ২০১৩]

(ক)

\frac{21}{2}

(খ) 14 (গ) 6 (ঘ) 7

উত্তরঃ (খ) 14

Explanation:
$(\frac{5x}{6} + 3) = (\frac{x}{3} + 10)$
বা, $\frac{5x}{6} = \frac{x}{3} + 10 - 3$
বা, $\frac{5x}{6} - \frac{x}{3} = 7$
বা, $\frac{5x - 2x}{6} = 7$
বা, $\frac{3x}{6} = 7$
বা, 3x = 42
বা, x = 14

১২. $\frac{m}{3} + 3 = \frac{2m}{15} + 6$ সমীকরণে m এর মান কত? [ প্রাথমিক বিদ্যালয় প্রধান শিক্ষক ( বেলি ) : ২০০৯ ]

(ক) - 15 (খ) ± 15 (গ) 14 (ঘ) 15

উত্তরঃ (ঘ) 15

Explanation:
$\frac{m}{3} + 3 = \frac{2m}{15} + 6$
বা, $\frac{m}{3} = \frac{2m}{15} + 6 - 3$
বা, $\frac{m}{3} - \frac{2m}{15} = 3$
বা, $\frac{5m - 2m}{15} = 3$
বা, $\frac{3m}{15} = 3$
বা, 3m = 45
বা, m = 15

১৩. $\frac{2p - 1}{5} + 1 = \frac{p - 1}{10}$ সমীকরণে p এর মান কত? [ প্রাথমিক বিদ্যালয় প্রধান শিক্ষক ( বেলি ) : ২০০৯ ]

(ক) -

\frac{1}{3}

(খ) 3 (গ) - 3 (ঘ)

\frac{2}{3}

উত্তরঃ (গ) - 3

Explanation:
$\frac{2p - 1}{5} + 1 = \frac{p - 1}{10}$
বা, $\frac{2p - 1}{5} - \frac{p - 1}{10} = - 1$
বা, $\frac{4p - 2 - p + 1}{10} = - 1$
বা, $\frac{3p - 1}{10} = - 1$
বা, 3p - 1 = - 10
বা, 3p = - 10 + 1
বা, 3p = - 9
বা, p = - 3

সংখ্যার সমীকরণ

সংখ্যার সমীকরণের ছোট ছোট অনেকগুলো প্রশ্ন পাটিগণিতের সংখ্যায়ন অধ্যায়ে আলোচনা করা হয়েছে। এখানে দেখানো হলো কিভাবে সমীকরণ সাজিয়ে সমাধান করতে হয়।এই অধ্যায়টি করার সময় শুধু প্রশ্ন আর সমাধানের থেকে সমীকরণ সাজানোর বিভিন্ন যুক্তিগুলোকে গুরুত্ব দিতে হবে ।

১৪. একটি সংখ্যার তিনগুণের সাথে দ্বিগুণ যোগ করলে ৯০ হয়। সংখ্যাটি কত? [ PETROBANGLA - (UDA)-2017]

(ক) ১৮ (খ) ২০ (গ) ২৪ (ঘ) ১৬

উত্তরঃ (ক) ১৮

Explanation:
ধরি, সংখ্যাটি x
প্রশ্নমতে,
৩x + 2x = ৯০
বা, ৫x = ৯০
বা, x = ১৮
সুতরাং সংখ্যাটি = ১৮

১৫. একটি সংখ্যার ৪ গুণের সাথে ১০ যোগ করা হলে উত্তর হয় সংখ্যাটির ৫ গুণ অপেক্ষা ৫ কম। সংখ্যাটি কত ? [IBBL- (ATO)-2017]

(ক) ৩০ (খ) ২০ (গ) ২৫ (ঘ) ১৫

উত্তরঃ (ঘ) ১৫

Explanation:
ধরি, সংখ্যাটি ক
প্রশ্নমতে,
৪ক + ১০ = ৫ক-৫
বা, - ক = -১৫
বা, ক = ১৫
সুতরাং সংখ্যাটি = ১৫

১৬. কোনো সংখ্যার দ্বিগুণের সাথে ৫ যোগ করলে যোগফল সংখ্যাটি অপেক্ষা ৭ বেশি হয়। সংখ্যাটি কত? [ উপ: পরিসংখ্যন কর্ম:১০ ]

(ক) ৫ (খ) ২ (গ) ৩ (ঘ) ৪

উত্তরঃ (খ) ২

Explanation:
ধরি, সংখ্যাটি ক
প্রশ্নমতে,
২ক + ৫ = ক + ৭
বা, ক = ২
সুতরাং সংখ্যাটি = ২

১৮. ২৫ থেকে কোন সংখ্যাটি বিয়োগ করলে বিয়োগফল সংখ্যাটি অপেক্ষা ৫ বেশি হবে? [ স্বরাষ্ট্র মন্ত্রণা:অধীন আন:ও ভিডিপিসা:অ্যাড:- ১০ ]

(ক) ১৫ (খ) ১০ (গ) ২৫ (ঘ) ২০

উত্তরঃ (খ) ১০

Explanation:
ধরি, সংখ্যাটি ক
প্রশ্নমতে,
২৫ - ক = ক + ৫
বা, -ক - ক = ৫ - ২৫
বা, - ২ক = - ২০
বা, ২ক = ২০
বা, ক = ১০
সুতরাং সংখ্যাটি = ১০

১৯. কোন সংখ্যার চারগুণের সাথে ১ যোগ করলে যোগফল ঐ সংখ্যাটির ৩ গুণ হতে ৫ বেশি হবে,সংখ্যাটি কত? [ অর্থমন্ত্রণা:সহঃ পরি: ০৯ ]

(ক) ৪ (খ) ৫ (গ) ৬ (ঘ) ৮

উত্তরঃ (ক) ৪

Explanation:
ধরি, সংখ্যাটি ক
প্রশ্নমতে,
৪ক + ১ = ৩ক + ৫
বা, ৪ক - ৩ক = ৫ - ১
বা, ক = ৪
সুতরাং সংখ্যাটি = ৪

২০. কোনো একটি সংখ্যার অর্ধেকের সঙ্গে 6 যোগ করলে যে উত্তর পাওয়া যায়, সংখ্যাটির দ্বিগুণ থেকে 21 বিয়োগ করলে একই ফল পাওয়া যায় । সংখ্যাটি কত? [ প্রাথমিক প্রধান শিক্ষক-০৯ ]

(ক) ১৬ (খ) ১৭ (গ) ১৮ (ঘ) ২০

উত্তরঃ (গ) ১৮

Explanation:
ধরি, সংখ্যাটি ক
প্রশ্নমতে,
$\frac{ক}{২}$ + ৬ = ২ক - ২১
বা, $\frac{ক}{২}$ - ২ক = - ৬ - ২১
বা, $\frac{ক - ৪ক}{২}$ = - ২৭
বা, $\frac{- ৩ক}{২}$ = - ২৭
বা, - ৩ক = - ৫৪
বা, ক = ১৮
সুতরাং সংখ্যাটি = ১৮

ভগ্নাংশের সমীকরণ

২১. একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার $\frac{2}{3}$ গুণ। সংখ্যা দুইটির সমষ্টি ১০০ হলে বড় সংখ্যাটির মান কত? [পরিবার কল্যাণ পরিদর্শিকা নিয়োগ পরীক্ষা: ২০১০ ]

(ক) ৫৫ (খ) ৭০ (গ) ৬৫ (ঘ) ৬০

উত্তরঃ (ঘ) ৬০

Explanation:
শুধু X না ধরে একটি সংখ্যা 2x এবং অপর সংখ্যাটি 3x ধরে করুন। তাহলে ( 2x+3x) বা, 5x = 100 সুতরাং x = 20, বড় সংখ্যাটি হবে 3×20 = 60

দেড়গুণ, আড়াই গুণ, সাড়ে তিন গুণ এভাবে ভগ্নাংশ থাকলে একটু মাথা খাঁটিয়ে করতে হবে। নিচের প্রশ্নটি ভালোভাবে বুঝুন । একটি আরেকটির দেড়গুণ হলে একটিকে 2x এবং অপরটিকে 3x ধরে করুন। কেননা ৩ হচ্ছে ২ এর দেড়গুণ । এভাবে করলেও উত্তর একই আসবে এবং ভগ্নাংশ না আসায় মুখে মুখে করা যাবে । যেমন:

২২. ৫৫০ গ্রাম একটি কেক-এ চিনির দ্বিগুণ ময়দা আছে। কিচমিচের দেড়গুণ চিনি আছে। কেকটিতে ময়দার পরিমান কত?

(ক) ১০০ (খ) ১৫০ (গ) ২৫০ (ঘ) ৩০০

উত্তরঃ (ঘ) ৩০০

Explanation:
৫৫০ গ্রাম কে মোট ৩ ভাগ করতে হবে যেখানে চিনি , ময়দা ও কিচমিচ থাকবে। প্রথম অংশে দ্বিগুণ আছে তাই সহজ। কিন্তু দ্বিতীয় অংশে দেড়গুণ আছে । যেখানে দেড়গুণ, আড়াইগুণ থাকবে সেখান থেকে ভাবা শুরু করতে হবে। কিচমিচের দেড়গুণ চিনি, অর্থাৎ ২ গুণ কিচমিচ হলে ৩ গুণ চিনি। আবার চিনির দ্বিগুন ময়দা অর্থাৎ ৩ গুন চিনি হলে ৬ গুণ ময়দা। তাহলে কেকটিকে মোট ২+৩+৬ = ১১ ভাগ করতে হবে। এখন যেহেতু ময়দা কত আছে তা বের করতে বলা হয়েছে তাই ৫৫০ গ্রাম কে ১১ ভাগ করলে প্রতি ১ ভাগে থাকে ৫০ গ্রাম। যেহেতু ময়দা ৬ ভাগ তাই ময়দা আছে ৬×৫০ = ৩০০ গ্রাম । এগুলোকেই x আকারে লিখে বলা যায়: 2x + 3x + 6x = 550, . x = 50 then 6x = 6x50 = 300
Note:এভাবে পাটিগণিত, বীজগণিত ও জ্যমিতির বিভিন্ন অধ্যায়ে ভগ্নাংশ আকারে সংখ্যার তুলনা আসলে মাথা খাঁটিয়ে উপরের নিয়মে করতে থাকুন। খাতা কলম ছাড়াই মুখে মুখে কয়েক সেকেন্ডে অংক হয়ে যাবে।

২৩. একটি ক্রিকেট দলে যতজন স্ট্যাম্প আউট হলো তার দেড়গুণ কট আউট হলো এবং মোট উইকেটের অর্ধেক বোল্ড আউট হলো। এই দলের কতজন কট আউট হলো? [ ১১তম বিসিএস ]

(ক) ৫ (খ) ৭ (গ) ৩ (ঘ) ৮

উত্তরঃ (গ) ৩

Explanation:
ধরি, স্ট্যাম্প আউট হলো ‘ক’ জন
সুতরাং কট আউট = $\frac{৩ক}{২}$
প্রশ্নানুসারে,
ক + $\frac{৩ক}{২}$ + ৫ = ১০
বা, ৫ক = ১০
বা, ক = ২
সুতরাং কট আউট হলো = $\frac{৩ × ২}{২}$ = ৩
মুখে মুখে করতে চাইলে এভাবে ভাবুন:
মোট উইকেট ১০টি, অর্ধেক = ৫টি বাকী ৫টির মধ্যে একটি আরেকটির দেড়গুণ অর্থ হলো স্ট্যাম্প আউট দুইজন এবং কট আউট ৩জন।

২৪. ৮৮২ টাকা তিনজন ছাত্রের মধ্যে এমনভাবে ভাগ করে দেয়া হল যে, ১ম জন ২য় জনের অর্ধেক টাকা পায় এবং ২য় জন ৩য় জনের অর্ধেক টাকা পায় । ৩য় জন কত টাকা পায়?

(ক) ৪২৭ টাকা (খ) ৪৪১ টাকা (গ) ৫০২ টাকা (ঘ) ৫০৪ টাকা

উত্তরঃ (ঘ) ৫০৪ টাকা

Explanation:
ধরি, প্রথম জন পায় = ক টাকা (একপাশ থেকে অর্ধেক =বিপরীত পাশ থেকে দ্বিগুণ, এভাবে করলে ভগ্নাংশ ছাড়া সহজে করা যাবে। তাহলে ২য় জন পায় = ২ক টাকা এবং ৩য় জন পায় = ৪ক টাকা ।
প্রশ্নমতে,
ক+২ক+৪ক = ৮৮২
বা, ৭ক = ৮৮২
সুতরাং ক = ১২৬
সুতরাং ৩য় জন পাবে = ৪×১২৬ = ৫০৪ টাকা। (বুঝে গেলে মুখে মুখে : ৮৮২ এর ৭ ভাগের ৪ ভাগ।)

২৫. রাসেল, আসাদ ও রাজুকে ৩১৫ টাকা ভাগ করে দেওয়া হলো । এতে রাসেলের টাকা আসাদের টাকার $\frac{৩}{৫}$ এবং আসাদের টাকা রাজুর টাকার ২ গুণ হলো। রাজু কত টাকা পেল? [কৃষি সম্প্রসারণ অধিদপ্তর- (অফি: সহ:+টাইপিস্ট)-২০১৮]

(ক) ৬০ টাকা (খ) ৯০ টাকা (গ) ১৫০ টাকা (ঘ) ৭৫ টাকা

উত্তরঃ (ঘ) ৭৫ টাকা

Explanation:
মনে করি, রাসেল = ৩ক টাকা, তাহলে আসাদ পাবে = ৫ক টাকা (লবের টাকা রাসেল এবং হরের টাকা আসাদ)
সুতরাং রাজু পাবে, ৫ক ÷ ২ = ২.৫ক (আসাদের টাকা রাজুর টাকার দ্বিগুণ হলে রাজুর টাকা আসাদের টাকার অর্ধেক হবে)
প্রশ্নমতে,
৩ক+৫ক+২.৫ক = ৩১৫ (সবার টাকার যোগফল = ৩১৫ টাকা)
বা, ১০.৫ক = ৩১৫
.'. ক = ৩১৫ ÷ ১০.৫ = ৩০টাকা।
তাহলে রাজু পাবে, ২.৫×৩০ = ৭৫ টাকা।

সমীকরণ সাজিয়ে সমাধান

২৬. রহিমের আয়ের দ্বিগুণের সাথে ১১০ টাকা যোগ করলে ৭০০০ টাকা হয়। রহিমের আয় কত? [PETROBANGLA - (UDA) 17]

(ক) ৩২৭৫ (খ) ৩৪৪৫ (গ) ৩২১০ (ঘ) ৫২৭৫

উত্তরঃ (খ) ৩৪৪৫

Explanation:
ধরি, রহিমের আয় x টাকা
বা, 2x+110 = 7000
বা,2x = 7000 - 110
বা,2x = 6890
বা,x = 6890÷2
বা, x = 3445 টাকা
শর্টকাট: ১১০ টাকা যোগ করার পর ৭০০০ টাকা হলে যোগ করার আগে ছিলা ৬৮৯০ টাকা। আবার ৬৮৯০ টাকা দ্বিগুণ করার আগে ছিল ৬৮৯০÷২ = ৩৪৪৫।

২৭. যদি কবিরের ওজন ৮ পাউন্ড কমে, তবে কবিরের ওজন তার বোনের ওজনের দ্বিগুণ হবে। এখন তাদের উভয়ের ওজন ২৭৮ পাউন্ড। বর্তমানে কবিরের ওজন কত ? [ BKB - (SO)-2017] & [ Sonali Bank Officer (General) - 2018 ]

(ক) 147 (খ) 188 (গ) 133 (ঘ) 139

উত্তরঃ (খ) 188

Explanation:
ধরি, কবিরের ওজন = x পাউন্ড । (সাধারণত যার টা বের করতে বলে তারটা ধরে সমীকরণ সাজাতে হয়।)
সুতরাং তার বোনের ওজন = 278 - x ( সমষ্টি দেয়া থাকলে একটাকে ধরে অন্যটা বিয়োগ করে বের করা যায়)
প্রশ্নমতে,
x-8 = 2 (278-x) (কবিরের ওজন থেকে ৮ বাদ দিলে যা থাকে তা তার বোনের দ্বিগুণ তাই বোনের সাথে ২ গুণ করে সমান )
বা, x-8 = 556 - 2x
বা, x + 2x = 556 + 8
বা, 3x = 564
বা, x = 564÷3
বা, x = 188
সুতরাং বর্তমানে কবিরের ওজন 188 পাউন্ড

২৮. রফিকের ওজন যদি ১৭ কেজি কমে যায় তবে তার ওজন আরিফের ওজনের অর্ধেক হয়ে যাবে । তাদের দুজনের ওজনের যোগফল ১৪০ কেজি হলে রফিকের ওজন কত কেজি ? [কৃষি সম্প্রসারণ অধিদপ্তর- (অফি: সহ:+টাইপিস্ট)-২০১৮]

(ক) ৫৫ (খ) ৫৮ (গ) ৬১ (ঘ) কোনটিই নয়

উত্তরঃ (খ) ৫৮

Explanation:
(এখানে যে ছোট তার থেকে বাদ দেয়ার পর সে ই অর্ধেক হয়ে গেছে। )
ধরি, রফিকের ওজন = x কেজি
আরিফের ওজন = 140-x কেজি।
১ম শর্তমতে,
2(x-17) = 140-x (যে ছোট তার সাথে গুণ)
বা, 2x-34 = 140-x
বা, 2x+x = 140+34
বা, 3x = 174
বা, x = 174÷3
বা, x = 58
মুখে মুখে করার যুক্তি:
১৪০ থেকে ১৭ বাদ দিলে হয় ১৪০-১৭ = ১২৩ যাকে ৩ দিয়ে ভাগ করলে হয় ৪১ । এবার যে ছোট তার থেকে ১৭ বাদ দেয়ার তার ওজন ছিল ৪১+১৭ = ৫৮

২৯. একটি ইকো কলমের মূল্য ৫ টাকা এবং একটি ম্যাটাডোর কলমের মূল্য ৪ টাকা। যদি ঐ দোকানদার ৫০০ টি কলম বিক্রি করে ২৩০০ টাকা পায়, তবে সে কয়টি ইকো কলম বিক্রয় করেছিল? [ খাদ্য অধিদপ্তর-০৯ ]

(ক) ১০০ (খ) ২০৫ (গ) ৩০৮ (ঘ) ৩০০

উত্তরঃ (ঘ) ৩০০

Explanation:
ধরি, ইকো কলম কিনেছিলো = x টি
ইকো কলমের মূল্য = ৫x টাকা
প্রশ্নমতে, ৫x + ৪(৫০০ x ) = ২৩০০ [দুই ধরণের কলমের মূল্যের যোগফল = ২৩০০]
বা, ৫x + ২০০০ - 8X = ২৩০০
:. x = ৩০০
সুতরাং ইকো কলম কিনেছিল = ৩০০টি।

৩০. কাজের দিন ২ টাকা পাওয়৷ এবং অনুপস্থিতির দিন ৫০ পয়সা জরিমানা দেয়ার শর্তে কাজ করে এক ব্যক্তি সেপ্টেম্বর মাসে ৪০ টাকা পেল। ব্যক্তিটি কত দিন কাজে উপস্থিত ছিল? [RAKUB (Supervisor ) - 2017]

(ক) ২২ (খ) ১৮ (গ) ২০ (ঘ) ১৫

উত্তরঃ (ক) ২২

Explanation:
সেপ্টেম্বর মাস = ৩০ দিনে
ধরি, কাজ করেছিল x দিনে
প্রশ্নমতে,
2x - 0.5(30 – x) = 40
বা, 2x − 15 + 0.5x = 40
বা, 2.5x = 55
বা, x = 55 2.5
.:. x = 22
ব্যক্তিটি কাজে উপস্থিত ছিল = ২২ দিন
অপশন দেখে ১০ সেকেন্ডে করার জন্য:
২২×২ = ৪৪টাকা ৷ এখন ৮ দিন কাজ না করায় জরিমানা দিতে হবে ৮×০.৫ = ৪ টাকা । সুতরাং টাকা পায় ৪৪-৪ = ৪০ টাকা।
মুখে মুখে করার জন্য এভাবে ভাবুন:
৩০দিন ই কাজ করলে মোট টাকা পেত = ৩০×২ = ৬০ টাকা।
কিন্তু টাকা পেয়েছে ৪০ অর্থাৎ কম পেয়েছে ৬০-৪০ = ২০টাকা।
একদিন কাজ না করলে ক্ষতি হয় ২ + .৫ = ২.৫ টাকা।
অর্থাৎ ২.৫ টাকা কম পাবে ১ দিন কাজ না করলে
তাহলে ২০ টাকা কম পাবে ২০÷২.৫ = ৮ দিন
ব্যক্তিটি কাজে উপস্থিত ছিল = ৩০ - ৮ = ২২ দিন

৩১. এক ব্যক্তি ২৪০ টাকায় কতকগুলো কলম কিনে দেখল যে যদি সে একটি কলম বেশি পেত তবে প্রত্যেকটি কলমের মূল্য গড়ে ১ টাকা করে কম পড়ত। সে কতগুলো কলম কিনেছিল? [মাধ্যমিক সহকারী প্রধান শিক্ষক নিয়োগ পরীক্ষা ২০০৩ + (৩৪ -তম বিসিএস) ]

(ক) ১৩ (খ) ১৪ (গ) ১৫ (ঘ) ১৬

উত্তরঃ (গ) ১৫

Explanation:
এরকম ১ টাকা অর্থাৎ ২ টাকা কম বেশি থাকলে মোট যে টাকার পরিমান দেয়া থাকবে তাকে এমনভাবে ভাঙ্গতে হবে যাতে দুটো পাশাপাশি সংখ্যা আসে যার পার্থক্য ১। তাহলে এই প্রশ্নের সমাধান বুঝে বুঝে লিখা যায় ২৪০ = ১৫×১৬ অর্থাৎ প্রথমে প্রতিটি ১৫ টাকা দরে ১৬টি কলম কিনেছিল । আবার যখন একটি কলম বেশি তে তখন কলমের সংখ্যা ১৫টি থেকে ১৬টি হয়ে যেত। যেহেতু মোট টাকা আগের ২৪০ ই আছে। তাই এবার স্বাভাবিক ভাবেই প্রতিটি কলমের দাম পড়বে ২৪০÷১৬ = ১৫টাকা। কিন্তু উত্তর প্রথম অংশেই বের হয়ে গেছে । প্রথম অংশে ১৫টি কলম প্রতিটি ১৬টাকা দরে কিনেছিল। তাই উত্তর ১৫টি ।
[এক লাইনে শুরুতে ১৫টি ১৬টাকা=২৪০ টাকা আবার শেষে ১৬টি ১৫টাকা = ২৪০ টাকা]

৩২. সুমন ১২০ টাকা দিয়ে কয়েকটি কলম কিনলো । প্রতিটি কলমের দাম যদি ২ টাকা কম হতো তবে সে আরো ২ টি কলম বেশি পেত। সে কতগুলো কলম কিনেছিল? [ খাদ্য অধিদপ্তর-০৯ ]

(ক) ১০ (খ) ১৫ (গ) ১৮ (ঘ) ১২

উত্তরঃ (ক) ১০

Explanation:
এখানে পার্থক্য ২টি, তাই ১২০ কে ১২×১০ করে ভাঙ্গলে হবে। প্রথমে কলমের দাম বেশি ছিল তাই কলম কিনেছিল কম। অর্থাৎ সে ১০ টি কলম কিনেছিল । পরে কলমের দাম ২ টাকা যদি কম হতো তাহলে সে কলম কিনত বেশি অর্থাৎ ১২ টি ।
সুতরাং সে ১০ টি কলম কিনেছিল

৩৩. রানীর বর্তমান বয়সের $\frac{2}{3}$ অংশের সাথে 12 বছর যোগ করলে তার বয়স বর্তমান বয়স অপেক্ষা 3 বছর বেশি হয়। রানীর বর্তমান বয়স কত? [ উপজেলা শিক্ষা অফিসার-১০ ]

(ক) ২০ (খ) ১০ (গ) ২৫ (ঘ) ২৭

উত্তরঃ (ঘ) ২৭

Explanation:
ধরি, রাণীর বর্তমান বয়স = x বছর
প্রশ্নমতে,
$\frac{2x}{3}$ + 12 = x + 3
বা, $\frac{2x}{3}$ - x = 3 - 12
বা, $\frac{2x - 3x}{3}$ = - 9
বা, x = 27
সুতরাং রাণীর বর্তমান বয়স = ২৭ বছর