দ্বিঘাত সমীকরণ বা সরল সহ-সমীকরণ || সংজ্ঞা, সূত্রাবলী এবং MCQ অনুশীলনসহ এ টু জেড

সরল সহ-সমীকরণ বা দ্বিঘাত সমীকরণ হলো গণিতের একটি গুরুত্বপূর্ণ অধ্যায়। এটি বিভিন্ন ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়, যেমন গণিত, বিজ্ঞান, পদার্থবিদ্যা, অর্থনীতি, বাণিজ্যিক গণিত ইত্যাদি। সরল সহ-সমীকরণ বা দ্বিঘাত সমীকরণগুলি গণিতের ভাষায় অজানা পরিমাণের বাক্যাংশকে বর্ণনা করে তার সমাধান নির্ণয়ে ব্যবহৃত হয়। এই আর্টিকেলের উদ্দেশ্য হলো সরল সহ-সমীকরণের ধারণা ও ব্যবহার সম্পর্কে বিস্তর আলোচনা করা। প্রথমে আমরা সরল সহ-সমীকরণ সম্পর্কে স্পষ্টতা সাধারণ উদাহরণগুলি দিয়ে ব্যাখ্যা করব। তারপরে আমরা সরল সহ-সমীকরণের গঠন এবং সমাধানের পদ্ধতি নিয়ে আলোচনা করব। এরপরে আমরা সরল সহ-সমীকরণের বিভিন্ন ধরণ ও ব্যবহার সম্পর্কে আলোচনা করব, যেমন একটি সমাধানের জন্য প্রয়োজনীয় সূত্র, শর্তাদি সমীকরণ, দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান, বহুঘাত সমীকরণ ইত্যাদি। এ সবকিছুই আমরা বিগত সালের প্রশ্ন অনুশীলনের মাধ্যমে রপ্ত করব । তবে তার পূর্বে নিশ্চয়ই মৌলিক বিষয়গুলো আমাদের জানতে হবে । চলুন তাহলে শুরু করা যাক ।

প্রাথমিক আলোচনা
দ্বিঘাত সমীকরণ কাকে বলে ?
সাধারণ সহ-সমীকরণ
প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে সরল সহ-সমীকরণ
অপনয়ন পদ্ধতিতে সহ-সমীকরণ
দ্বিঘাত সমীকরণের প্রয়োগ

প্রাথমিক আলোচনা

"সরল সহ-সমীকরণ বা দ্বিঘাত সমীকরণ হলো যেখানে দুটো অজানা রাশির মান নির্ণয় করতে হয়। এখানে অজানা রাশিদ্বয় ধরে সমীকরণ সাজিয়ে যে কোন একটির মান বের করার পর আরেকটির মান বের করতে হয়। বিভিন্ন পদ্ধতিতে দ্বিঘাত সমীকরনের অংকগুলো করা যায়। বিভিন্ন প্রকারের সমীকরণ:যেমন
ক. প্রতিস্থাপন
খ. অপনয়ন
গ. বজ্ৰগুণণ
ঘ. নির্ণায়ক
ঙ. লেখচিত্র।
তবে সব থেকে সহজ পদ্ধতি হলো অপনয়ন এবং প্রতিস্থাপন পদ্ধতি এবং এই নিয়মের অংকগুলোই সবথেকে বেশি আসে। নিচে বিস্তারিত ব্যাখ্যা প্রদান করা হল ৷

দ্বিঘাত সমীকরণ কাকে বলে ?

যে সমীকরণে অজ্ঞাত রাশির বৃহত্তম সূচকের মান দুই,তাকে দুই ঘাতবিশিষ্ট বা দ্বিঘাত সমীকরণ(second degree or quadratic equation)বলে । একটি দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ আকার হল ${ax}^{2}$ +bx+c=0 যেখানে a(≠0),b,c তিনটি ধ্রুবক রাশি। a,b হল যথাক্রমে $x^{2}$ ,x এর সহগ এবং c কে সমীকরণটির ধ্রুবক পদ বলে।

সাধারণ সহ-সমীকরণ

একটি রাশির মান প্রশ্নেই দেয়া থাকলে । যেমনঃ

১. যদি x + 5y = 24 এবং x = 3y হয়, তাহলে y = কত? [ সহকারী জজ নিয়োগ পরীক্ষা-১০ ]

(ক) 2 (খ) 3 (গ) 4 (ঘ) 5

উত্তরঃ (খ) 3

Explanation:
একটির মান দেয়া থাকলে অপরটির মান বের করতে বলা হলে যার মান দেয়া থাকবে তার মানটি অপর সমীকরণে বসিয়ে সমাধান করতে হবে।
এখানে পরবর্তী অংশে দেয়া আছে, x=3y, তাই প্রথম অংশে, x এর স্থলে 3y বসিয়ে
x + 5y = 24
বা, 3y + 5y = 24
বা, 8y = 24
সুতরাং y = 3

২. যদি x + 5y = 16 এবং x = 3y হয়, তাহলে y = কত? [১৮ তম বিসিএস]

(ক) - 24 (খ) - 2 (গ) 8 (ঘ) 2

উত্তরঃ (ঘ) 2

Explanation:
একটির মান দেয়া থাকলে অপরটির মান বের করতে বলা হলে যার মান দেয়া থাকবে তার মানটি অপর সমীকরণে বসিয়ে সমাধান করতে হবে।
এখানে পরবর্তী অংশে দেয়া আছে, x = 3y, তাই প্রথম অংশে, x এর স্থলে 3y বসিয়ে
x + 5y = 16
বা, 3y + 5y = 16
বা, 8y = 16
সুতরাং y = 2

৩. x + 2y = 4 এবং $\frac{x}{y}$ = 2 হলে, x = কত? [বিভিন্ন মন্ত্রণালয়ের ব্যক্তিগত কর্মকর্তা নিয়োগ-২০১৮]

(ক)

\frac{2}{3}

(খ)

\frac{3}{2}

(গ) 2 (ঘ)

\frac{1}{2}

উত্তরঃ (গ) 2

Explanation:
x + 2y = 4..........(1)
এবং $\frac{x}{y}$ = 2 বা, x = 2y ........(2)
x = 2y (1) নং এ বসালে পাই,
2y + 2y = 4
বা, 4y = 4
বা, y = 1
y এর মান (2) নং এ বসাই,
x = 2×1
সুতরাং x = 2

৪. x + y = 36 এবং x - y = 12 হলে x এর মান কত? [অর্থ মন্ত্রণালয়ের অফিস সহকারী ২০১১]

(ক) 18 (খ) 09 (গ) 16 (ঘ) 24

উত্তরঃ (ঘ) 24

Explanation:
দুটি সংখ্যার যোগফল এবং বিয়োগফল দেওয়া থাকলে দুটি সংখ্যার মান খুব সহজেই বের করা সম্ভব । সংখ্যা দুটির যোগফল এবং বিয়োগফলকে যোগ করলে বড় সংখ্যাটির দ্বিগুণ বের হয় । এখানে 36 এবং 12 যোগফল হল 48 । যা বড় সংখ্যাটির দ্বিগুণ । তাহলে বড় সংখ্যাটির মান হল এর অর্ধেক 24 । সুতরাং এখানে x এর মান 24 .

৫. x + y = 6 হলে xy এর বৃহত্তম মান কত? [অর্থ মন্ত্রণালয়ের অফিস সহকারী ২০১১]

(ক) 7 (খ) 10 (গ) 9 (ঘ) 12

উত্তরঃ (গ) 9

Explanation:
মনে রাখবেন দুটি সংখ্যার যোগফল দেয়া থাকলে তাদের মধ্যে সর্বোচ্চ গুণফলটি হবে তাদের মাঝামাঝি দুটি সংখ্যার গুণফল। যেমন, দুটি সংখ্যার যোগফল 6 হলে, তাদের মধ্যকার সবথেকে বড় গুণফলটি হবে 3×3 = 9। কারণ 6 এর মধ্যম সংখ্যাটি হচ্ছে 3,নিচের গুলো দেখুন ।

৬. x + y = 14 হলে xy এর সর্বোচ্চ মান কত? [ সহকারী জজ প্রিলিমিনারী-০৯ ]

(ক) 40 (খ) 45 (গ) 49 (ঘ) 42

উত্তরঃ (গ) 49

Explanation:
এখানে ১৪ এর মাঝামাঝি সংখ্যা ৭+৭ তাই এদের গুণফল হবে ৪৯, যা সবথেকে বড়, কিন্তু দুটি ৭ বাদে অন্য সংখ্যা নিলে তাদের গুণফল ৪৯ এর থেকে ছোট হয় তাই ৪৯ ই সর্বোচ্চ .

৭. যদি x = y = 2z এবং x.y.z = 256 হয়, তাহলে y = কত? [ বাংলাদেশ সরকারী কর্মকমিশন-০৬ ]

(ক) 2 (খ) 2√2 (গ)

4 \sqrt[3]{2}

(ঘ) 8

উত্তরঃ (ঘ) 8

Explanation:
(সবগুলোকেই একই অক্ষর বানানোর পর সমাধান করতে হবে।)
x = y = 2z
সুতরাং z = $\frac{x}{2}$
এখন, xyz = 256 হলে, x.x. $\frac{x}{2}$ = 256 [ এখানে x.y.z এর জায়গায় x এর জন্য x , y এর জায়গায় x ( যেহেতু x = y দেওয়া আছে ) , z এর জায়গায় $\frac{x}{2}$ বসানো হয়েছে ]
বা, $x^{3}$ = 512
বা, $x^{3} = 8^{3}$
সুতরাং x = 8

প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে সরল সহ-সমীকরণ

প্রতিস্থাপন পদ্ধতি হচ্ছে একটি সমীকরণের কাজ আলাদাভাবে করার পর যে মানটি বের হবে তা অন্য সমীকরণে প্রয়োগ করে উত্তর বের করা। যেমন:

৮. $(x^{2} + y^{2}) = 185$ , x - y = 3 এর একটি সমাধান হল:- [৩৬তম বিসিএস]

(ক) (7,4) (খ) (9,6) (গ) (10,7) (ঘ) (11,8)

উত্তরঃ (ঘ) (11,8)

Explanation:
আমরা জানি,
$2 ((x^{2} + y^{2})) = {( x + y )}^{2} + {( x - y )}^{2}$
বা, 2 × 185 = $({( x + y )}^{2} + 3^{2})$
বা, 370 = $({( x + y )}^{2} + 9)$
বা, $({( x + y )}^{2} = 370 - 9)$
বা, $({( x + y )}^{2} = 361)$
বা, $({( x + y )}^{2} = {(19)}^{2})$
সুতরাং x + y = 19
তাহলে x + y = 19 .............(1)
তাহলে x - y = 3 .............(2)
---------------------------------
(+) করে 2x = 22
বা, x = 22 ÷ 2 = 11
x এর মান ( 1 ) নং এ বসিয়ে পাই ,
11 + y = 19
বা, y = 19 - 11 = 8
সুতরাং, নির্ণেয় সমাধান: (x,y) = (11,8)
মুখে মুখে সমাধান :
$(x^{2} + y^{2})$ = 185 অর্থাৎ দুটি সংখ্যার বর্গের যোগফল 185 এবং x - y = 3 . ঐ সংখ্যা দুটির পার্থক্য 3। প্রদত্ত অপশন গুলোর মধ্যে শুধুমাত্র (ঘ) নং অপশনের $(11^{2} + 8^{2})$ = 121+64 = 185 এবং 11-8 = 3 হয়। তাই উত্তর: 11,8

৯. 2x = 3y এবং 3x - 2y = 5 হলে, (x, y) হবে: [স্বরাষ্ট্র মন্ত্রণালয়ের বহিরাগমন সহকারী পরিচালক ২০১১]

(ক) (6, 4) (খ) (3,2) (গ)

(\frac{5}{2}, \frac{5}{3})

(ঘ)

\frac{3}{2}, 1

উত্তরঃ (খ) (3,2)

Explanation:
2x = 3y --- ( 1 )
বা, x = $\frac{3y}{2}$
আবার 3x – 2y = 5-------(2)
x এর মান (2) নং এ বসাই,
বা, $3 (\frac{3y}{2})$ - 2y = 5
বা, $\frac{9y}{2}$ - 2y = 5
বা, $\frac{9y - 4y}{2}$ = 5
বা, 5y = 10
y = 2
y এর মান (1) নং এ বসাই,
বা, 2x = 3.2
:. x = 3
সুতরাং নির্ণেয় সমাধান: (x,y) = (3,2)

১০. যদি 2xy + y = 14 এবং x = 3 হয়, তাহলে 2y + x = কত? [ বাংলাদেশ সরকারী কর্মকমিশন-০৬ ]

(ক) 5 (খ) 6 (গ) 7 (ঘ) 8

উত্তরঃ (গ) 7

Explanation:
2xy + y = 14
বা, y(2x +1) = 14
বা, y (2.3+1) = 14
বা, 7y = 14
y = 2
সুতরাং 2y + x = 2 × 2 + 3 = 7

১১. যদি x + y = 4 এবং x - y = 3 হয়, তাহলে x + 2y = কত? [ সমাজ কল্যাণ মন্ত্রণালয়- ০৮]

(ক) 4 (খ) 5 (গ) 6 (ঘ)

4 \frac{1}{2}

উত্তরঃ (ঘ) $4 \frac{1}{2}$

Explanation:
x + y = 4 .............(1)
x - y = 3 .............(2)
---------------------------------
(+) করে 2x = 7
বা, x = $\frac{7}{2}$
x এর মান ( 1 ) নং এ বসিয়ে পাই ,
$\frac{7}{2}$ + y = 4
বা, y = 4 - $\frac{7}{2}$ = $\frac{1}{2}$
সুতরাং x + 2y
= $\frac{7}{2} + 2 \times \frac{1}{2}$
= $\frac{7}{2} + 1$
= $4 \frac{1}{2}$

১২. x + y = 0 এবং 2x – y + 3 = 0 সরলরেখা দুটি কোন বিন্দুতে ছেদ করে? [১৭ তম বিসিএস]

(ক)

(\frac{1}{3}, \frac{1}{3})

(খ) (1,1) (গ) (−3,3) (ঘ) (–1,1)

উত্তরঃ (ঘ) (–1,1)

Explanation:
2x – y + 3 = 0
2x – y = - 3 ........ ( 1 )
x + y = 0 ......... ( 2 )
( 1 ) নং এবং ( 2 ) নং যোগ করে পাই ,
3x = - 3
বা, x = - 1
এখন x এর মান ( 2 ) নং এ বসিয়ে পাই ,
y = 1
সরলরেখা দুটি (–1,1) বিন্দুতে ছেদ করে ।

অপনয়ন পদ্ধতিতে সহ-সমীকরণ

অপনয়ন পদ্ধতি: যখন দুটি রাশিকে সমান করার জন্য একটি রাশিকে কোন একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করা হয় ।

১৩. (x-y, 3) = (0, x + 2y) হলে (x, y) = কত? [ ৩৩ তম বিসিএস]

(ক) (1,1) (খ) (1,3) (গ) (-1,-1) (ঘ) (−3,1)

উত্তরঃ (ক) (1,1)

Explanation:
এভাবে সমাধান আসলে সমীকরণটি সাজিয়ে নিতে হয় এভাবে
x – y = 0 .....(1)
x + 2y = 3 .... (2)
------------------------
-3y = -3 [বিয়োগ করে]
সুতরাং y = 1 এখন y এর মান (1) নং এ বসাই ,
x-1 = 0
সুতরাং x = 1
সুতরাং নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (1, 1)

১৪. (x, y)-এর মান কত, যখন- 2x + 3y = 7 এবং 5x - 2y = 8 [সহকারী উপজেলা শিক্ষা অফিসার ২০০৯]

(ক) (2,1) (খ) (1,2) (গ) (3,1) (ঘ) (1,3)

উত্তরঃ (ক) (2,1)

Explanation:
2x + 3y = 7 --------- (i)
5x - 2y = 8 --------- (ii)
(i) নং সমীকরণকে 2 এবং (ii) নং সমীকরণকে 3 দ্বারা গুণ করে পাই,(এভাবে গুণ করলে একটি রাশি সমান হবে)
4x + 6y = 14
15x - 6y = 24
-----------------
19x = 38 [ যোগ করে]
সুতরাং x = 2
x-এর মান (i) নং-এ বসিয়ে পাই,
2.2 + 3y = 7
⇒ 3y = 7 - 4 = 3
সুতরাং y = 1
সুতরাং (x, y) এর মান- (2,1)

১৫. 2x + 3y = 1 এবং 5x - 2y + 7 = 0 সমীকরণদ্বয়ের সমাধান কত? [সহকারী উপজেলা শিক্ষা অফিসার -১০]

(ক) 1, 1 (খ) 3, 4 (গ) -1, 1 (ঘ) 2, -1

উত্তরঃ (গ) -1, 1

Explanation:
2x + 3y = 1 ...... (i)
5x - 2y + 7 = 0
বা, 5x - 2y = - 7 ............ (ii)
(i) নং কে 2 দ্বারা এবং (ii) নং কে 3 দ্বারা গুণ করে যোগ করি,
4x + 6y = 2
15x - 6y = - 21
----------------------
19x =-19
x = - 1
x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
2(-1) + 3y = 1
:. y = 1
সুতরাং x, y = (-1, 1)

১৬. 2x + 3y = 3 এবং 4x - 5y = 17 হলে, x ও y- এর মান হবে যথাক্রমে- [ প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক-১০]

(ক) 1, -3 (খ) 2, -1 (গ) 3, -1 (ঘ) -3, -1

উত্তরঃ (গ) 3, -1

Explanation:
2x + 3y = 3 .......... (i)
4x - 5y = 17 .......... (ii)
(i) নং কে 2 এবং (ii) নং কে 1 দ্বারা গুণ করে পাই
4x + 6y = 6
4x - 5y = 17
------------------------
11y = - 11 [বিয়োগ করে]
সুতরাং y = -1
2x + 3 × (-1) = 3 [(i) নং মান বসিয়ে পাই]
=>2x = 6
সুতরাং x = 3

১৭. 3x + 7y = 10 এবং 4x - y : = 3 হলে, x ও y এর মান হবে যথাক্রমে- [প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক-১০]

(ক) 1,1 (খ) 1, 2 (গ) 2, 1 (ঘ) 3 , 1

উত্তরঃ (ক) 1,1

Explanation:
3x + 7y = 10 ........ (i)
4x - y = 3 ...........(ii)
(i) নং কে 1 এবং (ii) নং কে 7 দ্বারা গুণ করে পাই,
28x-7y = 21..........(iii)
(i)+ (iii)
⇒ 31x = 31
'. x = 1
(ii) নং এ x এর মান বসিয়ে পাই,
4×1 - y = 3
y = 1

১৮. 2x + y = 7 এবং 3x + y = 10 হলে, x ও y এর মান হবে যথাক্রমে- [প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক-১০]

(ক) 2, 3 (খ) 3, 1 (গ) 4, - 1 (ঘ) 5, -3

উত্তরঃ (খ) 3, 1

Explanation:
2x + y = 7........... (i)
3x + y = 10 ......... (ii)
(ii) নং থেকে (i) বিয়োগ করে পাই
⇒ x = 3
আবার x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই
2 × 3 + y = 7
সুতরাং y = 1

সরল সহ-সমীকরণ বা দ্বিঘাত সমীকরণের প্রয়োগ

উপরের অংকগুলোতে সমীকরণ সাজিয়ে দেয়া থাকায়, সরাসরি সমাধান বের করা সম্ভব হয়েছে। কিন্তু এই পদ্ধতির অংকগুলোতে কিছু অংক কথায় লেখা থাকবে, সেখান থেকে সমীকরণ সাজিয়ে অংকটির অজানা রাশির মান বের করতে হবে ।

১৯. দুইটি সংখ্যার গুনফল ১৫৬ এবং তাদের বর্গের যোগফল ৩১৩। সংখ্যা দুটির যোগফল কত ? [ BADC ( Computer-Operator)-2018]

(ক) ২৩ (খ) ২৫ (গ) ২৬ (ঘ) ২৭

উত্তরঃ (খ) ২৫

Explanation:
ধরি, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে x এবং y
প্রশ্নমতে, xy = ১৫৬ এবং $(x^{2} + y^{2})$ = ৩১৩
আমরা জানি,
${(x+y)}^{2} = x^{2} + y^{2} + 2xy$
বা, ${(x+y)}^{2} = ৩১৩ + ২ \times ১৫৬$
বা, ${(x+y)}^{2} = ৩১৩ + ৩১২$
বা, ${(x+y)}^{2} = ৬২৫$
বা, x + y = ২৫
সুতরাং সংখ্যা দুটির যোগফল = ২৫
মাথা খাঁটাতে পারলে কয়েক সেকেন্ডে উত্তর বের হবে:
সংখ্যা দুটির গুণফল = ১৫৬ কে ভাঙ্গানো যায় ১২×১৩ আবার ${১২}^{২}$ = ১৪৪ এবং ${১৩}^{২}$ = ১৬৯ এর যোগফল ১৪৪+১৬৯ = ৩১৩
সুতরাং সংখ্যাদ্বয়ের যোগফল ১২+১৩ = ২৫।

২০. দুটি ধনাত্নক সংখ্যার পার্থক্য ৬ এবং তাদের বর্গের পার্থক্য ১০৮। সংখ্যা দুটির যোগফল কত ? [কৃষি সম্প্রসারণ অধিদপ্তর- (অফি সহ:+টাইপিস্ট)-২০১৮ ]

(ক) ৬ (খ) ৮ (গ) ১২ (ঘ) ১৮

উত্তরঃ (ঘ) ১৮

Explanation:
ধরি, বড় সংখ্যাটি = x এবং ছোট সংখ্যাটি = y
এখানে, x-y = 6 এবং $(x^{2} - y^{2})$ = 108
এখন, $(x^{2} - y^{2})$ = 108
⇒ (x+y)(x-y) = 108
⇒ (x + y) × 6 = 108
. x+y = 18
সুতরাং সংখ্যা দুটির যোগফল = ১৮ ।

২১. একটি পেন্সিল ও একটি কলমের ক্রয়মূল্যের অনুপাত ৩:৭। তাদের বিক্রয়মূল্যের অনুপাত ১:৪। যদি পণ্য দুটি বিক্রয় করে লোকসানের পরিমাণ সমান হয়, তবে কলমের ক্রয়মূল্য ও বিক্রয়মূল্যের অনুপাত কত ? [CGDF Auditor Exam-2017 ]

(ক) ৩:২ (খ) ১৪:৯ (গ) ২১:১৬ (ঘ) কোনটিই নয়

উত্তরঃ (গ) ২১:১৬

Explanation:
ধরি, পেন্সিল ও কলমের ক্রয়মূল্য যথাক্রমে ৩x ও ৭x
এবং বিক্রয়মূল্য যথাক্রমে y ও ৪y
কলমের ক্রয়মূল্য ও বিক্রয়মূল্যের অনুপাত = ৭x:৪y
প্রশ্নমতে, ৩x-y = ৭x-৪y [ যেহেতু দুটিতেই সমান লোকসান হয়েছে তাই দুপাশে লোকসান = লোকসান ]
বা, ৪y-y = ৭x-৩x
বা, ৩y = ৪x
সুতরাং y = $\frac{৪x}{৩}$ [এই মানটি অনুপাতে বসালেই উত্তর বের হবে।]
সুতরাং কলমটির ক্রয়মূল্য এবং বিক্রয়মূল্যের অনুপাত হবে = ৭x:৪x $\times \frac{৪x}{৩}$
= $৭x: \frac{১৬x}{৩}$
= ২১x : ১৬x
= ২১ : ১৬

২২. A ও B এর আয়ের অনুপাত ৩:২ এবং তাদের ব্যায়ের অনুপাত ৫:৩। যদি তারা প্রত্যেকে ১০০০ টাকা করে সঞ্চয় করে তবে A এর আয় কত? [DAE (Store Keeper ) -2017]

(ক) ৬০০০ টাকা (খ) ৭০০০ টাকা (গ) ৮০০০ টাকা (ঘ) ১০০০০ টাকা

উত্তরঃ (ক) ৬০০০ টাকা

Explanation:
ধরি, A ও B এর আয় যথাক্রমে = ৩x এবং ২x
এবং তাদের ব্যায় যথাক্রমে = ৫y এবং ৩y
প্রশ্নমতে,
৩x-৫y = ১০০০ - - - - (১)
২x-৩y = ১০০০ - - - - (২)
১ নং সমীকরণকে ৩ দিয়ে গুণ করে এবং ২নং সমীকরণকে ৫ দিয়ে গুণ করে পাওয়া যায়
১০x-১৫y = ৫০০০
৯x- ১৫y = ৩০০০
---------------------------------
.:. x = ২০০০ [ বিয়োগ করে পাই]
সুতরাং A এর আয় = ৩×২০০০ = ৬০০০ টাকা।

২৩. দুই অংকবিশিষ্ট একটি সংখ্যার এককের অংক দশকের অংক অপেক্ষা ৩ বেশি। সংখ্যাটি উহার অংকদ্বয়ের সমষ্টির ৩ গুণ অপেক্ষা ৪ বেশি। সংখ্যাটি কত? [ ১৪ তম বিসিএস]

(ক) ৪৭ (খ) ৩৬ (গ) ২৫ (ঘ) ১৪

উত্তরঃ (গ) ২৫

Explanation:
এটা মুল অংক না করেই অপশন যাচাইয়ের মাধ্যমে উত্তর অতি সহজেই পাওয়া সম্ভব।অংকটির প্রথম শর্ত হল একটি সংখ্যার এককের অংক দশকের অংক অপেক্ষা ৩ বেশি।দেখা যাচ্ছে চারটি অপশনই এই শর্তটি সঠিক আছে। তাই ২য় শর্ত দেখতে হবে।২য় শর্ত হল সংখ্যাটি উহার অংকদ্বয়ের সমষ্টির ৩ গুণ অপেক্ষা ৪ বেশি।এখানে,৪৭ = ৪+৭ = ১১, ১১×৩ = ৩৩ যা ২য় শর্তটির সাথে সামঞ্জস্য হচ্ছে না। ৩৬=৩+৬=৯,৯×৩=১৮ যা ২য় শর্তটির সাথে সামঞ্জস্য হচ্ছে না।২৫=২+৫=৭,৭×৩ =২১।অর্থাৎ ২৫ সংখ্যাটির অংকদ্বয় ২ ও ৫ এর সমষ্টির ৩ গুণ =২১। যা মুল সংখ্যা ২৫ থেকে ৪ কম।এটি ২য় শর্তটির সাথে সামঞ্জস্য হচ্ছে।তাই অপশন গ ই সঠিক।

২৪. দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোন সংখ্যার অঙ্ক দুটির অন্তর ২, অঙ্কদুটি স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তা প্রদত্ত সংখ্যার দ্বিগুণ অপেক্ষা ৬ কম। সংখ্যাটি কত? [ বিটিভির প্রযোজক -২০০৬]

(ক) ৫৭ (খ) ৪৬ (গ) ৫৩ (ঘ) ২৪

উত্তরঃ (ঘ) ২৪

Explanation:
এটা ও মুল অংক না করেই অপশন যাচাইয়ের মাধ্যমে উত্তর অতি সহজেই পাওয়া সম্ভব।অংকটির প্রথম শর্ত হল দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোন সংখ্যার অঙ্ক দুটির অন্তর ২। দেখা যাচ্ছে চারটি অপশনই এই শর্তটি সঠিক আছে।তাই ২য় শর্ত দেখতে হবে।২য় শর্ত হল অঙ্কদুটি স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়,তা প্রদত্ত সংখ্যার দ্বিগুণ অপেক্ষা ৬ কম। এখানে,৫৭ এর অংক দুটির স্থান বিনিময় করলে হয় ৭৫। যা প্রদত্ত সংখ্যা ২৪ এর দ্বিগুণ ৪৮ অপেক্ষা ৬ কম নয় ।তাই ২য় শর্তটির সাথে সামঞ্জস্য হচ্ছে না।৪৬ এর অংক দুটির স্থান বিনিময় করলে হয় ৬৪। যা প্রদত্ত সংখ্যা ২৪ এর দ্বিগুণ ৪৮ অপেক্ষা ৬ কম নয়। তাই ২য় শর্তটির সাথে সামঞ্জস্য হচ্ছে না।৫৩ এর অংক দুটির স্থান বিনিময় করলে হয় ৩৫। যা প্রদত্ত সংখ্যা ২৪ এর দ্বিগুণ ৪৮ অপেক্ষা ৬ কম নয়। তাই ২য় শর্তটির সাথে সামঞ্জস্য হচ্ছে না।২৪ এর অংক দুটির স্থান বিনিময় করলে হয় ৪২। যা প্রদত্ত সংখ্যা ২৪ এর দ্বিগুণ ৪৮ অপেক্ষা ৬ কম।তাই অপশন ঘ ই সঠিক উত্তর।

২৫. কোন সংখ্যার $\frac{১}{২}$ অংশের সাথে ৬ যোগ করলে সংখ্যাটির $\frac{২}{৩}$ অংশ হবে, সংখ্যাটি কত? [ বাণিজ্য সহকারী পরিচালক-২০১৩]

(ক) ৫৩ (খ) ৬৩ (গ) ৩৬ (ঘ) ৩৫

উত্তরঃ (গ) ৩৬

Explanation:
এটা ও মুল অংক না করেই অপশন যাচাইয়ের মাধ্যমে উত্তর অতি সহজেই পাওয়া সম্ভব।অপশনের মধ্যে ৩ টিই অপশনই বিজোড় সংখ্যা।তাই জোড় সংখ্যার অপশনই যাচাই করি যেহেতু সংখ্যাটির অর্ধেক নিতে হবে।৩৬ এর অর্ধেক ১৮।এর সাথে ৬ যোগ করলে ২৪ হয়।এখন, $\frac{২৪}{৩৬} = \frac{২}{৩}$ ।যা শর্তের সাথে সামঞ্জস্য। তাই অপশন গ ই সঠিক উত্তর।

২৬. একটি নৌকা স্রোতের প্রতিকূলে যে গতিবেগে চলে স্রোতের অনুকূলে ঐ গতিবেগের ৫ গুণ গতিবেগে যেতে পারে। স্থির পানিতে নৌকার গতিবেগ ঘন্টায় ৬ কিমি হলে, ঘন্টায় স্রোতের গতিবেগ কত? [ জাতীয় সঞ্চয় পরিদপ্তরের সহকারী পরিচালক-২০০৬]

(ক) ৪ কিমি/ঘন্টা (খ) ৫ কিমি/ঘন্টা (গ) ৬ কিমি/ঘন্টা (ঘ) ৭ কিমি/ঘন্টা

উত্তরঃ (ক) ৪ কিমি/ঘন্টা

Explanation:
এখানে, ক অপশন ধরে যাচাই করি।স্রোতের প্রতিকূলে গতিবেগ = ৬ - ৪ = ২ কি.মি. স্রোতের অনুকুলে গতিবেগ = ৬+৪ = ১০ কি.মি.।যা প্রতিকূলের গতিবেগের চেয়ে ৫ গুণ বেশী।তাই ক অপশনই সঠিক।

২৭. সুমন ৫৫ টাকায় একটি পেন ও একটি পেন্সিল ক্রয় করল। যদি পেনের মূল্য পেন্সিলের মূল্য অপেক্ষা ২৫ টাকা বেশি হয়, তবে একটি পেন্সিলের মূল্য কত? [ অগ্রণী ব্যাংক অফিসার-২০০৮]

(ক) ১০ (খ) ১৫ (গ) ১৭.৫ (ঘ) ২০

উত্তরঃ (খ) ১৫

Explanation:
ধরি,পেন্সিলের মূল্য = ক টাকা
পেনের মূল্য = ক+২৫ টাকা
প্রশ্নমতে,ক+ক+২৫ = ৫৫ টাকা
বা,২ক = ৫৫-২৫ টাকা
বা,২ক = ৩০ টাকা
বা,ক = ৩০÷২ =১৫ টাকা
সুতরাং পেন্সিলের মূল্য = ১৫ টাকা

২৮. ৩ টি আপেল এবং চারটি কমলা লেবুর দাম ৩২ টাকা। ৪ টি আপেল ও তিনটি কমলা লেবুর দাম ৩১ টাকা। ১ টি আপেল, ১ টি কমলা লেবু ও ১ টি পেপের দাম ২৮ টাকা। পেপের মূল্য কত? [ কমার্স ব্যাংক অফিসার-২০০০]

(ক) ১৯ (খ) ১৮ (গ) ২০ (ঘ) ২১

উত্তরঃ (ক) ১৯

Explanation:
ধরি,আপেলের দাম = x টাকা
কমলা লেবুর দাম = y টাকা
পেপের দাম = z টাকা
প্রশ্নমতে,3x + 4y + 4x + 3y = 32 + 31
বা, 7x + 7y = 63
বা, 7(x+y) = 63
বা, (x+y) = 63÷7
বা, x + y = 9
আবার, x + y + z = ২৮ টাকা
বা,৯ + Z = ২৮
বা, Z = ২৮ - ৯ = ১৯
সুতরাং পেপের দাম ১৯ টাকা

২৯. ৯৬ টি আম x, y, z এর মধ্যে এমন ভাবে বন্টন করে দেওয়া হল যেন x পেল z এর চার গুণ এবং z পেল y এর তিনগুণ। y কয়টি আম পেল? [ কমার্স ব্যাংক অফিসার-২০০০]

(ক) ৬ (খ) ৮ (গ) ১২ (ঘ) ১৮

উত্তরঃ (ক) ৬

Explanation:
ধরি ,y পেল = p টি আম
z পেল= ৩p টি আম
x পেল = ১২p টি আম
প্রশ্নমতে, p + ৩p + ১২p = ৯৬
বা,১৬p = ৯৬
বা,p = ৯৬ ÷ ১৬ = ৬
সুতরাং y পেল ৬ টি আম

৩০. জামালের কাছে মালেকের অর্ধেক মার্বেল আছে। আরিফের কাছে জামালের তিনগুণ মার্বেল আছে। তাদের নিকট সর্বমোট ৭২ মার্বেল আছে। জামালের নিকট কতটি মার্বেল আছে? [অগ্রণী ব্যাংক অফিসার-২০০৮]

(ক) ১০ (খ) ১২ (গ) ১৫ (ঘ) ১৮

উত্তরঃ (খ) ১২

Explanation:
ধরি,মালেকের মার্বেল আছে = x টি
জামালের মার্বেল আছে = $\frac{x}{2}$ টি
আরিফের মার্বেল আছে = $\frac{x}{2} \times 3 = \frac{3x}{2}$ টি
প্রশ্নমতে,
$x + \frac{x}{2} + \frac{3x}{2} = 72$
বা, $\frac{2x + x + 3x}{2} = 72$
বা, $\frac{6x}{2} = 72$
বা, 6x = 144
বা, x = 144÷6 = 24
সুতরাং জামালের নিকট মার্বেল আছে = 24 ÷ 2 = 12 টি

৩১. একটি শ্রেণীতে প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসলে ৩ খানা বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে বসলে ৬ জন ছাত্র দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীতে ছাত্র সংখ্যা কত? [ উপজেলা ও থানা শিক্ষা অফিসার-২০০৫]

(ক) ৫৫ জন (খ) ৬০ জন (গ) ৬৫ জন (ঘ) ৭০ জন

উত্তরঃ (খ) ৬০ জন

Explanation:
ধরি,বেঞ্চ সংখ্যা = x
১ম শর্তমতে,ছাত্রসংখ্যা = ৪(x-৩) = ৪x - ১২
২য় শর্তমতে,ছাত্রসংখ্যা = ৩x + ৬
প্রশ্নমতে,৪x - ১২ = ৩x + ৬
বা,৪x - ৩x = ১২+৬ = ১৮
x = ১৮
সুতরাং, ছাত্রসংখ্যা = ৩×১৮ + ৬ =৫৪ + ৬ = ৬০