লগারিদম-বীজগণিত || সংজ্ঞা, সূত্রাবলী এবং MCQ অনুশীলনসহ এ টু জেড

লগারিদম হলো একটি গাণিতিক অপারেশন যা সংখ্যা বা মানের লগারিদম নির্ণয় করে। লগারিদমের সাহায্যে অনেক গাণিতিক সমস্যা সহজে সমাধান করা সম্ভব হয়। লগারিদমের বেশিরভাগ ব্যবহার হয় কম্পিউটার সায়েন্সে এবং অনলাইন ক্যালকুলেশনে। এছাড়াও, এটি পরিসংখ্যান এবং প্রক্রিয়া নির্ধারণের জন্য ব্যবহৃত হয়। একটি সংখ্যাকে নির্দিষ্ট লগারিদম হিসাব করে সেই লগারিদমের মানের উপর ভিত্তি করে কিছু করা সম্ভব হয় । সূচকের এর বিপরীত হলো লগারিদম । হিসেবের সুবিধার্থে অনেক বড় বা অনেক ছোট সংখ্যাকে a × 10 n আকারে প্রকাশ করা হয়। কোন সংখ্যার a × 10 n রূপকে বলা হয় সংখ্যাটির বৈজ্ঞানিক বা আদর্শ রূপ।
লগ প্রধানত দুই প্রকার। যথা:-
1) স্বাভাবিক লগারিদম (ln)
2) সাধারণ লগারিদম (log)
আজকে আমরা সাধারণ লগারিদম রপ্ত করার চেষ্টা করব বিগত সালের বিভিন্ন নিয়োগ পরীক্ষার প্রশ্ন সমাধান করতে করতে । যা থেকে বিভিন্ন প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষার জন্য চূড়ান্ত প্রস্তুতি হয়ে যাবে নিশ্চিন্তে ।

• প্রাথমিক আলোচনা
• লগারিদম কাকে বলে?
• লগারিদমের সূত্র সমূহ
• Log- এর সাধারণ প্রশ্নসমূহ
• Log- এর সমাধান

প্রাথমিক আলোচনা

সর্বপ্রথম স্কটল্যান্ডের গণিতবিদ জন নেপিয়ার' (1550-1617) লগারিদম আবিস্কার করেন।
শুধু ধনাত্মক সংখ্যার লগারিদম আছে। শূন্য, ঋণাত্মক সংখ্যার লগারিদম নেই।
যদি a x = M হয় তবে x কে M এর a ভিত্তিক লগারিদম বা সংক্ষেপে লগ বলা হয়। লগারিদমের প্রতীক ব্যবহার করে লেখা হয়: Log a M = x
Log a M কে a ভিত্তিক লগ 'M' পড়া হয়।
ব্যবহারিক ক্ষেত্রে লগারিদমের ভিত্তি সাধারণত ১০ ধরা হয়। ১০ ভিত্তিক লগারিদমকে সাধারণ লগারিদম বলে। এই ক্ষেত্রে ভিত্তি উহ্য রাখা হয় অর্থাৎ Log 10 M বোঝাতে logM লেখা হয়।
লগারিদমের প্রবর্তন করেন- জন নেপিয়ার

লগারিদম কাকে বলে?

গণিতশাস্ত্রে লগারিদম হলো সূচকের বিপরীত প্রক্রিয়া। এর অর্থ কোনো সংখ্যার লগারিদম হলো সেই সূচক যেটাকে একটি নির্ধারিত মানের ঘাত হিসাবে উন্নীত করলে প্রথমোক্ত সংখ্যাটি পাওয়া যায়। সহজভাবে, একটি সংখ্যাকে বার বার গুণ করলে, লগারিদম সংখ্যাটিকে যতবার গুণ করা হয়েছিল তা গণনা করে।

লগারিদমের সূত্র সমূহ

1. ${\displaystyle {\log }_a\left(MN\right)={\log }_a\left(M\right)+{\log }_a\left(N\right)}$ [ অর্থাৎ গুণ থাকলে যোগ এবং ভাগ থাকলে বিয়োগ করতে হয় ]
2. ${\displaystyle {\log }_a\left(\frac{M}{N}\right)={\log }_{a}M-{\log }_{a}N}$ [ অর্থাৎ ভাগ থাকলে বিয়োগ করতে হয় ]
3. ${\displaystyle {\log }_a{M}^n=n{\log }_{a}M}$ [ ভিত্তিমূলের উপর ভিত্তি, আবার ভিত্তি এর উপর পাওয়ার থাকলে পাওয়ারটি শুরুতে বসে যেমন: ${\displaystyle {\log }_x{\mathrm{10}}^5=5{\log }_x\mathrm{10}}$ ]
4. ${\displaystyle {\log }_{a}a=1}$ [ অর্থাৎ ${\displaystyle {\log }_{\mathrm{10}}\mathrm{10}=1}$ , ভিত্তিমূল এবং ভিত্তি মিলে গেলে তার মান সবসময় 1 হয়। ]
5. ${\displaystyle {\log }_a{a}^2=2}$ [ অর্থাৎ ${\displaystyle {\log }_x{x}^4=4}$ (অর্থাৎ কখনো log এর ভিত্তিমুল ও ভিত্তি যদি সমান হয় তাহলে ভিত্তিমূল এবং ভিত্তি উভয়ে উঠে যায় এবং ভিত্তির উপর যে পাওয়ার থাকে তাই উত্তরে লিখতে হয়। ) ]
6. ${\displaystyle {\log }_{a}1=0}$ [ যে কোন ভিত্তিমূলের উপর ভিত্তি 1 হলে তার উত্তর 0 হয় ]
7. ${\displaystyle {\log }_{a}b\times {\log }_{b}a=1}$ [ উভয় লগের ভিত্তি এবং ভিত্তিমূল বিপরীতধর্মী হলে তার মান 1 হয় । ]
8. loga + logb + logc = log ( abc ) [ log কমন নেয়ার সময় যোগ থাকলে গুণ ]
9. loga - logb = $\log (\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}})$ [ log কমন নেয়ার সময়, বিয়োগ থাকলে ভাগ হয়, এবং প্রথমটি উপরে বসে ]
10. ${\displaystyle {\log }_{a}y=x}$ হলে ${\displaystyle a^x=y}$ [ সূত্রটি খুবই গুরুত্বপূর্ণ ]
[ কোন পাওয়ার = কোন মান দেয়া থাকলে log তুলে দিয়ে ঐ পাওয়ার ও মানটি স্থান বদল করে অর্থাৎ পাওয়ার জায়গায় মানটি এবং মান এর জায়গায় পাওয়ার যায় ]

Log- এর সাধারণ প্রশ্নসমূহ

১. Log3 + log4 = ? ..

(ক) Log2 (খ) Log4 (গ) Log6 (ঘ) Log12

উত্তরঃ (ঘ) Log12

Explanation:
Log3 + log4 = Log (3×4) = log12
[ log কমন নেয়ার সময় যোগ থাকলে গুণ হয় ]

২. ${\log }_2\mathrm{64}+{\log }_{2}8$ এর মান কত? [ জনপ্রশাসন মন্ত্রণালয়ের প্রশাসনিক কর্মকর্তা-২০১৬]

(ক) 128 (খ) 7 (গ) 9 (ঘ) 2

উত্তরঃ (গ) 9

Explanation:
${\log }_2\mathrm{64}+{\log }_{2}8$
= ${\displaystyle {\log }_2{2}^6+{\log }_2{2}^3}$
= $6{\log }_{2}2+3{\log }_{2}2$ [ অর্থাৎ কখনো log এর ভিত্তিমুল ও ভিত্তি যদি সমান হয় তাহলে ভিত্তিমূল এবং ভিত্তি উভয়ে উঠে যায় এবং ভিত্তির উপর যে পাওয়ার থাকে তাই উত্তরে লিখতে হয়। ]
= 6 + 3
= 9

Key point: Log এর অংকগুলো করার সময়, সব সময় চেষ্টা করবেন কিভাবে ভিত্তিমূল ও ভিত্তিকে সমান করা যায়, কেননা ভিত্তিমূল ও ভিত্তি মিলে গেলে দুটোই বাদ দেয়া যাবে, তখন তার পাওয়ারটিই হবে উত্তর।

৩. ${\log }_{2}8$ = কত ? [ প্রতিরক্ষা মন্ত্রণালয়ের সহ: পরি: - ২০১৮]

(ক) 1 (খ) 2 (গ) 3 (ঘ) 4

উত্তরঃ (গ) 3

Explanation:
${\log }_{2}8$
= ${\displaystyle {\log }_2{2}^3}$
= $3{\log }_{2}2$
= 3.1
= 3

${\log }_{4}2$ = কত?
ব্যাখ্যা: এখানে নিচের ভিত্তিমূলকে পরিবর্তন করা যাবে না। তাই উপরের ভিত্তি 2 কে ভিত্তিমূলের সাথে মেলানোর জন্য যা করা দরকার তাই করতে হবে। আমার জানি √4 = 2 সুতরাং আমরা 2 কে 4 বানানোর জন্য লিখতে পারি 2 = √4 .
${\log }_{4}2$
= ${\log }_4\mathrm{\surd 4}$
= ${\displaystyle {\log }_4{4}^{\frac{1}{2}}}$
= 1 2 [ Log এর ভিত্তিমূল এবং ভিত্তি মিলে যাওয়ায়, পাওয়ার রেখে সব বাদ দেয়া হয়েছে। ]

৪. ${\log }_x(\frac{1}{8})\mathrm{=\; -\; 2}$ হলে x এর মান কত? [ ৩৮তম বিসিএস প্রিলি ]

(ক) 2 (খ) √2 (গ) 2√2 (ঘ) 4

উত্তরঃ (গ) 2√2

Explanation:
${\log }_x(\frac{1}{8})\mathrm{=\; -\; 2}$
বা, x - 2 = 1 8
বা, 1 x 2 = 1 8
বা, x 2 = 8
বা, x = 4 × 2
:. x = 2√2

৫. ${\log }_3\frac{1}{27}$ = কত? [ATEO (কোটা) পরীক্ষা -১৫]

(ক) 9 (খ) - 6 (গ) - 3 (ঘ) 5

উত্তরঃ (গ) - 3

Explanation:
${\log }_3\frac{1}{27}$
= ${\log }_3\frac{1}{3^3}$
= ${\log }_3{3}^{\mathrm{-\; 3}}$
= $\mathrm{-\; 3}{\log }_3{3}^{}$
= - 3

Log- এর সমাধান

৬. log 2 16 = কত? [ ৮ম প্রভাষক নিব: পরীক্ষা-১২ ]

(ক) 7 (খ) 8 (গ) 5 (ঘ) 3

উত্তরঃ (খ) 8

Explanation:
log 2 16
= log 2 (√2) 8
= 8 log 2 √2
= 8

৭. ${\log }_3\frac{1}{9}$ এর মান- [৩৫তম বিসিএস]

(ক) 2 (খ) - 2 (গ) 3 (ঘ) - 3

উত্তরঃ (খ) - 2

Explanation:
${\log }_3\frac{1}{9}$
= ${\log }_3\frac{1}{3^2}$
= ${\log }_3{3}^{\mathrm{-\; 2}}$
= - 2 ${\log }_3{3}^{}$
= - 2

৮. ${\log }_x\frac{1}{9}$ = - 2 হলে, x এর মান কত? [ বেসরকারী শিক্ষক নিবন্ধন পরীক্ষা-১১ ]

(ক) 7 (খ) - 7 (গ) 5 (ঘ) 3

উত্তরঃ (ঘ) 3

Explanation:
${\log }_x\frac{1}{9}$ = - 2
বা, x - 2 = 1 9
বা, x - 2 = 1 3 2
বা, x - 2 = 3 - 2
বা, x = 3

৯. ${\log }_x\frac{1}{16}$ = - 2 হলে, x এর মান কত? [ ১২তম বেসরকারি স্কুল নিবন্ধন পরীক্ষা- ১৫]

(ক) 3 (খ) 5 (গ) 4 (ঘ) 6

উত্তরঃ (গ) 4

Explanation:
${\log }_x\frac{1}{16}$ = - 2
বা, x - 2 = 1 16
বা, x - 2 = 1 4 2
বা, x - 2 = 4 - 2
বা, x = 4

১০. ${\log }_{\mathrm{10}}\mathrm{(\; 0.001)}$ = কত ? [ রেলওয়ে উপ-সহকারী -২০১৩]

(ক) - 2 (খ) - 3 (গ) 1 2 (ঘ) 1 3

উত্তরঃ (খ) - 3

Explanation:
${\log }_{\mathrm{10}}\mathrm{(\; 0.001)}$
বা, 10 x = .001
বা, 10 x = 10 - 3
বা, x = - 3

১১. log a x = 1 , log a y = 2 এবং log a z = 3 হলে , log a ( x 3 y 2 z ) এর মান কত? [ ৩৫-তম বিসিএস]

(ক) 1 (খ) 2 (গ) 4 (ঘ) 5

উত্তরঃ (গ) 4

Explanation:
log a x = 1 বা, a 1 = x বা, x = a
log a y = 2 বা, a 2 = y বা, y = a 2
log a z = 3 বা, a 3 = z বা, z = a 3
এখন , log a ( x 3 y 2 z )
= ${\log }_a{a}^4$
= 4${\log }_{a}a$
= 4 × 1
= 4

১২. ${\log }_x(\frac{3}{2})=-\frac{1}{2}$ হলে, x - এর মান কত? [ ৩৭-তম বিসিএস প্রিলি ]

(ক) 4 9 (খ) 9 4 (গ) 3 2 (ঘ) 2 3

উত্তরঃ (ক) 4 9

Explanation:
${\log }_x(\frac{3}{2})=-\frac{1}{2}$
বা, $x_{}-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$
বা, 1 x 1 2 = 3 2 [ পাওয়ার এ মাইনাস থাকলে তা ভগ্নাংশ আকারে লিখতে হয় ]
বা, 1 √x = 3 2
বা, √x = 2 3
বা, x = ( 2 3 ) 2
সুতরাং x = 4 9

১৩. ${\log }_{\mathrm{2\surd 5}}400=\mathrm{x}$ এর মান কত? [ ৮ম প্রভাষক নিবন্ধন পরীক্ষা-১২ ]

(ক) 7 (খ) 4 (গ) 5 (ঘ) 3

উত্তরঃ (খ) 4

Explanation:
${\log }_{\mathrm{2\surd 5}}400=\mathrm{x}$
বা, (2√5) x = 400 [ পাওয়ার এবং মান কে স্থানান্তরিত করে ]
বা, (2√5) x = 16 × 25 [ 400 কে ভাঙ্গানোর সময় এমন সংখ্যা দিয়ে ভাঙ্গতে হবে যেন প্রতিটি বর্গ সংখ্যা হয় ]
বা, (2√5) x = 2 4 × 5 2
বা, (2√5) x = 2 4 × (√5) 4
বা, (2√5) x = (2√5) 4
সুতরাং x = 4

১৪. ${\log }_{x}324=4$ হলে, x এর মান কত? [ অর্থ মন্ত্রণালয়ের পরিদপ্তরের সহ:পরিচালক-১০ ]

(ক) 3√2 (খ) 4√2 (গ) 5√2 (ঘ) 6√2

উত্তরঃ (ক) 3√2

Explanation:
${\log }_{x}324=4$
বা, x 4 = 324
বা, x 4 = 81 × 4
বা, x 4 = 3 4 × (√2) 4
বা, x 4 = (3√2) 4
সুতরাং x = 3√2

১৫. 32 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত? [ ১৩তম বিসিএস ]

(ক) 7 (খ) - 7 (গ) 5 (ঘ) 3

উত্তরঃ (গ) 5

Explanation:
${\log }_{2}32$ .........( 32 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত বলতে বোঝায় Log এর 2 ভিত্তির উপর 32 বসালে তার মান কত হবে )
বা, ${\log }_2{2}^5$ = 5

১৬. 64 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত? [ কর্মসংস্থান ও প্রশিক্ষণ ব্যুরোর উপ-পরিচালক পরীক্ষা-09 ]

(ক) 7 (খ) 6 (গ) 5 (ঘ) 3

উত্তরঃ (খ) 6

Explanation:
${\log }_{2}64$ .........( 64 এর 2 ভিত্তিক লগারিদম কত বলতে বোঝায় Log এর 2 ভিত্তির উপর 64 বসালে তার মান কত হবে )
বা, ${\log }_2{2}^6$ = 6

১৭. ${\log }_2\mathrm{\surd 6}+{\log }_2\sqrt{\frac{2}{3}}$ = কত? [ পরিবেশ ও বন মন্ত্রনালয়ের সহ পরিচালক: ১০ ]

(ক) log5 (খ) 1 (গ) ${\log }_{2}2$ (ঘ) 3 log 2

উত্তরঃ (খ) 1

Explanation:
${\log }_2\mathrm{\surd 6}+{\log }_2\sqrt{\frac{2}{3}}$
= ${\log }_2\left(\sqrt{6\times \frac{2}{3}}\right)$
= ${\log }_2\mathrm{(\surd 2\; \times \; \surd 2)}$
= ${\log }_{2}2$
= 1