ক্ষেত্রফল ও পরিমাপ- গণিত

ক্ষেত্রফল ও পরিমাপ অধ্যায়টি খুবই গুরুত্বপূর্ণ । এই টিউটরিয়ালে, আমি ক্ষেত্রফল ও পরিমাপের চাকুরি প্রস্তুতির জন্য যতটুকু যেভাবে আলোচনা করার প্রয়োজন ঠিক সেভাবেই আলোচনা করব। ক্ষেত্রফল ও পরিমাপ বিভিন্ন ক্ষেত্রে অন্যতম গুরুত্বপূর্ণ উপাদান হিসাবে ব্যবহার হয়। তবে আজকের টিউটরিয়ালে গণিতশাস্ত্রে এর প্রভাব ও ব্যবহার সম্পর্কে নিয়েই আলোচনা করব । চাকুরি প্রস্তুতির জন্য লিখিত সমধানের পাশাপাশি কিছু শর্টকাট টেকনিক ও দেখাব । যাতে করে ৮ থেকে ১০ সেকেন্ডে যে কোন অংকের উত্তর বের করতে পারেন। চলুন তাহলে শুরু করা যাক ।

পরিমাপের বিভিন্ন এককসমূহ
বিগত সালের কিছু সাধারণ প্রশ্নোত্তর
বিগত সালের কিছু সাধারণ প্রশ্ন ও সমাধান
দৈর্ঘ্য / প্রস্থ/ ক্ষেত্রফল হ্রাস বৃদ্ধি সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

পরিমাপের বিভিন্ন এককসমূহ

দৈর্ঘ্য পরিমাপের মেট্রিক এককসমূহ
● দৈর্ঘ্য পরিমাপের একক - মিটার
● ১০ মিলিমিটার = ১ সেন্টিমিটার
● ১০ সেন্টিমিটার = ১ ডেসিমিটার
● ১০ ডেসিমিটার = ১ মিটার
● ১০ মিটার = ১ ডেকামিটার
● ১০ ডেকামিটার = ১ হেক্টোমিটার
● ১০ হেক্টোমিটার = ১ কিলোমিটার

দৈর্ঘ্য পরিমাপের ব্রিটিশ পদ্ধতির এককসমুহ
● ১২ ইঞ্চি = ১ ফুট
● ৩ ফুট = ১ গজ
● ১৭৬০ গজ = ১ মাইল

দৈর্ঘ্য পরিমাপের মেট্রিক পদ্ধতি ও ব্রিটিশ পদ্ধতির সম্পর্ক
● ১ মিটার = ৩৯.৩৭ ইঞ্চি
● ১ কিলোমিটার = ০.৬২ মাইল
● ১ ইঞ্চি = ২.৫৪ সেন্টিমিটার
● ১ গজ = ০.৯১৪৪ মিটার
● ১ মাইল = ১.৬ কিলোমিটার।

ভর পরিমাপের মেট্রিক এককসমূহ
● ভর পরিমাপের মূল একক : গ্রাম
● ১০ মিলিগ্রাম।= ১ সেন্টিগ্রাম
● ১০ সেন্টিগ্রাম = ১ ডেসিগ্রাম
● ১০ ডেসিগ্রাম = ১ গ্রাম
● ১০ গ্রাম = ১ ডেকাগ্রাম
● ১০ ডেকাগ্রাম = ১ হেক্টোগ্রাম
● ১০ হেক্টোগ্রাম = ১ কিলোগ্রাম
● ১০০ কিলোগ্রাম = ১ কুইন্টাল
● ১০০০ কিলোগ্রাম = ১ মেট্রিকটন
● ১০ কুইন্টাল = ১ মেট্রিকটন।

তরল পদার্থের আয়তনের পরিমাপের মেট্রিক এককসমূহ
● ১০ মিলিলিটার = ১ সেন্টিলিটার
● ১০ সেন্টিলিটার = ১ ডেসিলিটার
● ১ ডেসিলিটার = ১ লিটার
● ১০ লিটার = ১ ডেকালিটার
● ১০ ডেকালিটার = ১ হেক্টোলিটার
● ১০ হেক্টোলিটার = ১ কিলোলিটার

ক্ষেত্রফল পরিমাপের মেট্রিক এককসমূহ
● ভূমির পরিমাপের মূল একক : বর্গমিটার
● ১০০ বর্গ মিলিমিটার = ১ বর্গ সেন্টিমিটার
● ১০০ বর্গসেন্টিমিটার = ১ বর্গডেসিমিটার
● ১০০ বর্গ ডেসিমিটার = ১ বর্গ মিটার
● ১০০ বর্গ মিটার = ১ বর্গ ডেকামিটার (১ এয়র)
● ১০০ বর্গ ডেকামিটার = ১ বর্গ হেক্টোমিটার (১ হেক্টর)
● ১০০ বর্গ হেক্টোমিটার = ১ বর্গকিলোমিটার

ক্ষেত্রফল পরিমাপের বিট্রিশ একক সমুহ
● ১৪৪ বর্গ ইঞ্চি = ১ বর্গফুট
● ৯ বর্গ ফুট = ১ বর্গগজ
● ৪৮৪০ বর্গগজ = ১ একর
● ১০০ শতক (ডেসিমেল) = ১ একর

ক্ষেত্রফল পরিমাপের দেশীয় এককসমূহ
● ১ বর্গহাত = ১ গন্ডা
● ২০ গন্ডা = ১ ছটাক
● ১৬ ছটাক = ১ কাঠা
● ২০ কাঠা = ১ বিঘা

ক্ষেত্রফল পরিমাপের মেট্রিক ও বিট্রিশ পদ্ধতির সম্পর্ক
● ১ বর্গসেন্টিমিটার = ০.১৬ বর্গ ইঞ্চি
● ১ বর্গ মিটার = ১০.৭৬ বর্গফুট
● ১ হেক্টর = ২.৪৭ একর
● ১ বর্গ ইঞ্চি = ৬.৪৫ বর্গ সেন্টিমিটার
● ১ বর্গফুট = ৯২৯ বর্গসেন্টিমটার
● ১ বর্গগজ = ০.৮৪ বর্গ মিটার
● ১ বর্গমাইল = ৬৪০ একর

ক্ষেত্রফল পরিমাপের মেটিক, ব্রিটিশ ও দেশীয় এককের সম্পর্ক
● ১ বর্গ হাত = ৩২৪ বর্গইঞ্চি
● ৪ বর্গহাত বা ৪ গন্ডা = ৯ বর্গফুট = ০.৮৪ বর্গমিটার
● ১ কাঠা = ৭২০ বর্গফুট = ৮০ বর্গগজ = ৬৬.৮৯ বর্গমিটার
● ১ বিঘা = ১৬০০ বর্গগজ = ১৩৩৭.৮ বর্গমিটার
● ১ একর = ৩ বিঘা ৮ ছটাক = ৪০৪৬.২৪ বর্গমিটার
● ১ শতক = ৪৩৫.৬ বর্গফুট = ১০০০ বর্গ কড়ি
● ১ বর্গমাইল = ১৯৩৬ বিঘা

আয়তন পরিমাপের মেট্রিক এককসমূহ
● ১০০০ ঘনসেন্টিমিটার = ১ ঘন ডেসিমিটার
● ১০০০ ঘন ডেসিমিটার = ১ ঘনমিটার
● ১০ ঘন মিটার = ১ ঘন স্টেয়র
● ১০ ঘন স্টেয়র = ১ ডেকাস্টেয়র

আয়তন পরিমাপে মেট্রিক ও ব্রিটিশ এককের সম্পর্ক
● ১ স্টেয়র = ৩৫.৩ ঘনফুট
● ১ ডেকাস্টেয়র = ১৩.০৮ ঘনগজ

বিগত সালের কিছু সাধারণ প্রশ্নোত্তর

১. ১০ মিলিমিটার সমান--[ বিএসটিআই এর অফিস সহকারী-২০১১]

(ক) ১ ডে.মি (খ) ১ সে.মি. (গ) ১ মিটার (ঘ) ১ সে.গ্রাম

উত্তরঃ (খ) ১ সে.মি.

২. ১ কোটিতে কত মিলিয়ন?[ ৬ষ্ঠ সহকারী জজ -২০১১]

(ক) ১০ (খ) ০.১ (গ) ১০০ (ঘ) ১০০

উত্তরঃ (ক) ১০

৩. ২০৫৭৩.৪ মিলিগ্রামে কত কিলোগ্রাম?[ প্রাথমিক শিক্ষা অধিদপ্তরের হিসাব সহকারী- ২০১১/১২ তম বিসিএস]

(ক) ০.০২০৫৭৩৪ কি.গ্রা. (খ) ২০.৫৭৩৪ কি.গ্রা. (গ) ২.০৫৭৩৪ কি.গ্রাম (ঘ) ০.২০৫৭৩৪ কি.গ্রা.

উত্তরঃ (ক) ০.০২০৫৭৩৪ কি.গ্রা.

৪. ১ বর্গ ইঞ্চি কত বর্গ সেন্টিমিটারের সমান? [ ১৫ তম বিসিএস]

(ক) ০.০৯২৯ (খ) ৭.৩২ (গ) ৬.৪৫ (ঘ) ৬৪.৫০

উত্তরঃ (গ) ৬.৪৫

৫. ১ কেজি দ্রব্যের ১০০ ভাগের ৫ ভাগকে বলা হয়--[ সহকারী মাধ্যমিক প্রধান শিক্ষক -২০০০]

(ক) ০.০৫ কিলোগ্রাম (খ) ০.৫ গ্রাম (গ) ০.৫ কিলোগ্রাম (ঘ) উপরের কোনটিই নয়

উত্তরঃ (ক) ০.০৫ কিলোগ্রাম

৬. কত মিলিমিটারে এক মিটার ?[ থানা সহকারী শিক্ষা অফিসার -২০০৯]

(ক) ১০ (খ) ১০০ (গ) ১০০০ (ঘ) ১০০০০

উত্তরঃ (গ) ১০০০

৭. ১ কিলোমিটার এক মাইলের কত অংশের সমান? [ জেলা নির্বাচন অফিসার-২০০৪]

(ক) ০.৬৭ (খ) ০.৬২ (গ) ০.৭০ (ঘ) ০.৭২

উত্তরঃ (খ) ০.৬২

৮. ১ বর্গমিটার কত বর্গ সেন্টিমিটারের সমান?[ প্রাথমিক প্রধান শিক্ষক(ঢাকা)- ২০০৯]

(ক) ১০০ (খ) ১০০০০ (গ) ১০০০ (ঘ) ১০

উত্তরঃ (খ) ১০০০০

৯. এক কুইন্টাল ওজনে কত কিলোগ্রাম?[ ১৪ তম বিসিএস]

(ক) ১ কিলোগ্রাম (খ) ১০ কিলোগ্রাম (গ) ১০০ কিলোগ্রাম (ঘ) ১০০০ কিলোগ্রাম

উত্তরঃ (গ) ১০০ কিলোগ্রাম

১০. এক লিটার পানির ওজন হবে--[পররাষ্ট্র মন্ত্রণালয়ের প্রশাসনিক কর্মকর্তা--২০০৪]

(ক) ১০০ গ্রাম (খ) ৫০০ গ্রাম (গ) ১০০০০ গ্রাম (ঘ) ১০০০ গ্রাম

উত্তরঃ (ঘ) ১০০০ গ্রাম

১১. কত বর্গমিটার সমান ১ এয়র? [ কারা তত্ত্বাবধায়ক-২০০৬]

(ক) ১০০০০ (খ) ১০০০ (গ) ১০০ (ঘ) ১০

উত্তরঃ (গ) ১০০

১২. তিন লিটার পানির ওজন -[প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক (যমুনা)- ২০১২]

(ক) ২.৫ কি.গ্রা. (খ) ৪ কি.গ্রা. (গ) ২.৭৫ কি.গ্রা (ঘ) ৩ কি.গ্রা.

উত্তরঃ (ঘ) ৩ কি.গ্রা.

১৩. ১ নটিক্যাল মাইল সমান -[ সহকারী শিক্ষক -২০০৫(চট্রগ্রাম)]

(ক) ১.৮৫২ মাইল (খ) ১.৬০৯ মাইল (গ) ০.৬২১ মাইল (ঘ) ১.১৫ মাইল

উত্তরঃ (ঘ) ১.১৫ মাইল

১৪. ১ টন কত কেজির সমান? [ সহকারী শিক্ষক -২০০৫(চট্রগ্রাম)]

(ক) ১০০০ কেজি (খ) ৮৪৫ কেজি (গ) ১০১০ কেজি (ঘ) ৯৯৫ কেজি

উত্তরঃ (ক) ১০০০ কেজি

১৫. ১ ঘনমিটার সমান কত লিটার?[ প্রাথমিক প্রধান শিক্ষক -২০০২]

(ক) ১০০ লিটার (খ) ১০০০ লিটার (গ) ১০০০০ লিটার (ঘ) ১০০০০০ লিটার

উত্তরঃ (খ) ১০০০ লিটার

বিগত সালের কিছু সাধারণ প্রশ্ন ও সমাধান

১. একটি আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ অপেক্ষা দৈর্ঘ্য ৪ মিটার বেশী।পরিসীমা ৫৬ মিটার হলে ক্ষেত্রফল কত? [ ৮ম প্রভাষক নিবন্ধন পরীক্ষা-২০১২]

(ক) ১৮২ বর্গমিটার (খ) ১৮৬ বর্গমিটার (গ) ১৯২ বর্গমিটার (ঘ) ১৯৬ বর্গমিটার

উত্তরঃ (গ) ১৯২ বর্গমিটার

Explanation:
ধরি, প্রস্থ = ক মিটার এবং দৈর্ঘ্য = ক+৪ মিটার
পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)
প্রশ্নমতে , ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ) = ৫৬ মিটার
বা, ২ ( ক+ ক+৪) = ৫৬ মিটার
বা, ২ ( ২ক+৪) = ৫৬ মিটার
বা, ২ক + ৪ = ২৮
বা, ২ক = ২৮ -৪ = ২৪
বা, ক = ২৪÷২ = ১২
সুতরাং প্রস্থ = ১২ মিটার এবং দৈর্ঘ্য = ১২+ ৪ =১৬ মিটার
সুতরাং ক্ষেত্রফল = ( ১২×১৬) = ১৯২ বর্গমিটার

২. একটি আয়তাকার বাগানের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে ১৫০ মিটার ও ১০০ মিটার ।বাগানটির দৈর্ঘ্য ২০% এবং প্রস্থ ১০% বৃদ্ধি করলে নতুন বাগানটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার হবে? [ সহকারী উপজেলা শিক্ষা অফিসার-২০১২]

(ক) ১৯৮০০ (খ) ১৫০০ (গ) ৩০০০ (ঘ) ১৯৫০০

উত্তরঃ (ক) ১৯৮০০

Explanation: দেওয়া আছে , বাগানের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে ১৫০ মিটার ও ১০০ মিটার
২০% বৃদ্ধিতে বাগানের দৈর্ঘ্য
= ১৫০ + (১৫০ এর ২০%)
= ১৫০ + ( ১৫০ এর $\frac{২০}{১০০}$ )
= ১৫০ + ৩০ মিটার
= ১৮০ মিটার
১০% বৃদ্ধিতে বাগানের প্রস্থ
= ১০০ + (১০০ এর ১০%)
= ১০০ + ( ১০০ এর $\frac{১০}{১০০}$ )
= ১০০ + ১০ মিটার
= ১১০ মিটার
নতুন বাগানের ক্ষেত্রফল = ১৮০×১১০ = ১৯৮০০ বর্গমিটার

৩. একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে ১৩, ১৪ ও ১৫ মিটার।ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? [ পল্লী বিদ্যুতায়ন সহকারী সচিব-২০১৩]

(ক) ৬০ বর্গমিটার (খ) ৮৪ বর্গমিটার (গ) ৯০ বর্গমিটার (ঘ) ১০৮ বর্গমিটার

উত্তরঃ (খ) ৮৪ বর্গমিটার

Explanation:
ত্রিভুজের পরিসীমা s = $\frac{১৩+১৪+১৫}{২}$ = ২১ মিটার
সুতরাং বিষমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= $\sqrt{s(s -a)(s -b)(s - c)}$
= $\sqrt{২১(২১ -১৩)(২১ -১৪)( ২১ - ১৫)}$
= $\sqrt{২১×৮×৭×৬}$
= $\sqrt{৭০৫৬}$
= ৮৪ বর্গমিটার

৪. একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ২৮ মিটার হলে বর্গক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার ? [ উপ-সহকারী পরিচালক (দুদক) -২০১০]

(ক) ৩৬ (খ) ৪২ (গ) ৪৯ (ঘ) কোনটিই নয়

উত্তরঃ (গ) ৪৯

Explanation:
ধরি, বর্গক্ষেত্রের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য = ক
সুতরাং পরিসীমা হবে = ৪ক
প্রশ্নমতে, ৪ক = ২৮ মিটার
বা, ক = ২৮÷৪ মিটার
বা, ক = ৭ মিটার
বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ${((বাহু))}^{২}$
= ${((৭))}^{২}$
= ৪৯ বর্গমিটার

৫. একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ৪৪ মিটার। প্রস্থ অপেক্ষা দৈর্ঘ্য ২ মিটার বেশি হলে, দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে -- [ সরকারি প্রধান শিক্ষক(ঢাকা) -২০০৮]

(ক) ১০ মিটার, ৮ মিটার (খ) ১৪ মিটার, ১২ মিটার (গ) ১২ মিটার, ১০ মিটার (ঘ) ৮ মিটার, ৬ মিটার

উত্তরঃ (গ) ১২ মিটার, ১০ মিটার

Explanation:
ধরি , প্রস্থ = ক মিটার এবং দৈর্ঘ্য = ক+২ মিটার
প্রশ্নমতে, ২ (ক+ ক +২) = ৪৪
বা, ২ক + ২ = ২২
বা, ২ক = ২২ - ২
বা, ২ক = ২০
সুতরাং ক = ১০
প্রস্থ = ১০ মিটার এবং দৈর্ঘ্য = ১০+২ = ১২ মিটার

৬. একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৯০০ বর্গমিটার। এর পরিসীমা কত? [ প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক (বরিশাল)-২০০৬]

(ক) ৩০ মিটার (খ) ৬০ মিটার (গ) ১২০ মিটার (ঘ) ৯০ মিটার

উত্তরঃ (গ) ১২০ মিটার

Explanation: বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য = $\sqrt{৯০০}$ = ৩০ মিটার
পরিসীমা = ৪×৩০ = ১২০ মিটার

৭. একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য ৫, ৬ ও ৭ মিটার। নিকটতম বর্গমিটারে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত? [ ২৪ তম বিসিএস]

(ক) ১৬ বর্গমিটার (খ) ১৫ বর্গমিটার (গ) ১৭ বর্গমিটার (ঘ) ১৪ বর্গমিটার

উত্তরঃ (খ) ১৫ বর্গমিটার

Explanation:
ত্রিভুজের পরিসীমা s = $\frac{৫+৬+৭}{২}$ = ৯ মিটার
সুতরাং বিষমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= $\sqrt{s(s -a)(s -b)(s - c)}$
= $\sqrt{৯(৯ -৫)(৯ -৬)( ৯ - ৭)}$
= $\sqrt{৯×৪×৩×২}$
= $\sqrt{২১৬}$
= ১৪.৬৯ বর্গমিটার
সুতরাং নিকটতম বর্গমিটারে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল ১৫ বর্গমিটার

৮. একটি বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা একটি আয়তক্ষেত্রের পরিসীমার সমান।আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৩ গুণ এবং ক্ষেত্রফল ৭৬৮ বর্গমিটার । বর্গক্ষেত্রটির একবাহুর দৈর্ঘ্য কত মিটার? [প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক-২০১৯(৩য় ধাপ)]

(ক) ৩১ (খ) ৩২ (গ) ৩৩ (ঘ) ৩০

উত্তরঃ (খ) ৩২

Explanation:
ধরি, আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ক মিটার এবং দৈর্ঘ্য ৩ক মিটার
প্রশ্নমতে,
ক × ৩ক = ৭৬৮
বা, ৩ ${(ক)}^{২}$ = ৭৬৮
বা, ${(ক)}^{২}$ = ৭৬৮÷৩
বা, ${(ক)}^{২}$ = ২৫৬
বা, ক = ১৬
সুতরাং আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ ১৬ মিটার এবং দৈর্ঘ্য ৩×১৬ = ৪৮ মিটার
আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ ( ১৬+৪৮) = ২×৬৪ = ১২৮ মিটার
বর্গক্ষেত্রের একবাহুর দৈর্ঘ্য = ১২৮÷৪ = ৩২ মিটার

৯. একটি বোতলে আমের জুসের পরিমাণ ৩৫০ মিলি। ২৪ টি বোতলে জুসের পরিমাণ কত লিটার? [ প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক-২০১৯(৪র্থ ধাপ)]

(ক) ৬.৪ (খ) ৭.৪ (গ) ৮.৪ (ঘ) ৯.৪

উত্তরঃ (গ) ৮.৪

Explanation:
একটি বোতলে আমের জুসের পরিমাণ ৩৫০ মিলি।
২৪ টি বোতলে জুসের পরিমাণ = ৩৫০×২৪ = ৮৪০০ মিলি ।
আমরা জানি, ১০০০ মিলি = ১ লিটার।
সুতরাং ৮৪০০ মিলি = ৮৪০০÷১০০০ = ৮.৪ লিটার।

১০. একটি বইয়ের দৈর্ঘ্য ২৫ সে.মি ও প্রস্থ ১ সে.মি.। বইটির পৃষ্ঠা সংখ্যা ২০০ এবং প্রতি পাতার পুরুত্ব ০.১ সে.মি. হলে বইটির আয়তন কত ঘন সে.মি.? [ স্বরাষ্ট্র মন্ত্রণালয়ের মাদকদ্রব্য নিয়ন্ত্রণ অধিদপ্তরের হিসাবরক্ষক-২৯.১১.২০১৯]

(ক) ৪৫৫ (খ) ৪৫০ (গ) ৪৪০ (ঘ) ২৫০

উত্তরঃ ২৫ ঘন সে.মি.

Explanation:
দেওয়া আছে, বইটির পৃষ্ঠা সংখ্যা ২০০
তাই পাতার সংখ্যা = ২০০÷২ = ১০০
বইটির উচ্চতা হবে = ১০০ × ০.১ = ১০ মি.মি = ১ সে.মি.
সুতরাং বইয়ের দৈর্ঘ্য ২৫ সে.মি, প্রস্থ ১ সে.মি. এবং উচ্চতা = ১ সে.মি.
বইটির আয়তন = ২৫×১×১ = ২৫ ঘন সে.মি.

১১. একটি চেীবাচ্চায় ৮০০০ লিটার পানি ধরে। চৌবাচ্চাটির দৈর্ঘ্য ২.৫৬ মিটার এবং প্রস্থ ১.২৫ মিটার হলে গভীরতা কত? [ স্বরাষ্ট্র মন্ত্রণালয়ের মাদকদ্রব্য নিয়ন্ত্রণ অধিদপ্তরের হিসাবরক্ষক-২৯.১১.২০১৯]

(ক) ১.২৫ মি. (খ) ২.৫ মিটার (গ) ২.৭৫ মি. (ঘ) ৩.৫ মি.

উত্তরঃ (খ) ২.৫ মিটার

Explanation:
৮০০০ লিটার = ৮ ঘন মিটার
গভীরতা = $\frac{৮}{২.৫৬×১.২৫}$ = ২.৫ মিটার

দৈর্ঘ্য / প্রস্থ/ ক্ষেত্রফল হ্রাস বৃদ্ধি সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

সূত্র-১: দৈর্ঘ্যের বৃদ্ধির হার প্রস্থের হ্রাসের চেয়ে বেশি হলে-
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির হার = $\frac{(১০০+ বৃদ্ধির হার) × ( ১০০-হ্রাসের হার)}{১০০}$ -১০০

১. একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২০% বাড়ালে এবং প্রস্থ ১০% কমালে ক্ষেত্রফলের পরিবর্তন শতকরা কত হবে ?[ ১৪ তম বিসিএস]

(ক) ১০৮% বৃদ্ধি (খ) ১০৮% হ্রাস (গ) ৮% হ্রাস (ঘ) ৮% বৃদ্ধি

উত্তরঃ (ঘ) ৮% বৃদ্ধি

Explanation:
শর্ট টেকনিক:
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধির হার
= $\frac{(১০০+ বৃদ্ধির হার) × ( ১০০-হ্রাসের হার)}{১০০}$ -১০০
= $\frac{(১০০+ ২০) × ( ১০০-১০)}{১০০}$ -১০০
= $\frac{১২০ × ৯০}{১০০}$ -১০০
= ১০৮-১০০ = ৮% বৃদ্ধি

সূত্র-২: দৈর্ঘ্যের বৃদ্ধির হার প্রস্থের হ্রাসের সমান বা কম হলে-
ক্ষেত্রফল হ্রাস = ১০০ - $\frac{(১০০+ বৃদ্ধির হার) × ( ১০০-হ্রাসের হার)}{১০০}$

১. একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ১০% বৃদ্ধি এবং প্রস্থ ১০% হ্রাস করা হলে ক্ষেত্রফলের শতকরা কত পরিবর্তন হবে ?[পাসপোর্ট এন্ড ইমিগ্রেশনের সহকারী পরিচালক-২০০৭]

(ক) ১% বৃদ্ধি (খ) ২০% হ্রাস (গ) ১% হ্রাস (ঘ) ২০% বৃদ্ধি

উত্তরঃ (গ) ১% হ্রাস

Explanation:
শর্ট টেকনিক:
ক্ষেত্রফল হ্রাস
= ১০০ - $\frac{(১০০+ বৃদ্ধির হার) × ( ১০০-হ্রাসের হার)}{১০০}$
= ১০০ - $\frac{(১০০+ ১০) × ( ১০০-১০)}{১০০}$
= ১০০ - $\frac{১১০ × ৯০}{১০০}$
= ১০০-৯৯ = ১% হ্রাস

২. একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ২০% বাড়ালে এবং প্রস্থ ২০% কমালে তার আয়তন -[সহকারী রিচাস অফিসার-১৯৯৮]

(ক) ২০% কমবে (খ) ৪% কমবে (গ) ২০% বাড়বে (ঘ) ৪% বাড়বে

উত্তরঃ (খ) ৪% কমবে

Explanation:
শর্ট টেকনিক:
ক্ষেত্রফল হ্রাস
= ১০০ - $\frac{(১০০+ বৃদ্ধির হার) × ( ১০০-হ্রাসের হার)}{১০০}$
= ১০০ - $\frac{(১০০+ ২০) × ( ১০০-২০)}{১০০}$
= ১০০ - $\frac{১২০ × ৮০}{১০০}$
= ১০০-৯৬ = ৪% হ্রাস

সূত্র-৩: যখন শুধু বৃদ্ধির হারের কথা উল্লেখ থাকে তখন- ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = ${((\frac{১০০ + বৃদ্ধির হার}{১০০}, ))}^{২}$

বিঃদ্রঃ প্রাপ্ত ফলাফলের লব থেকে হর বিয়োগ করলে (বৃদ্ধির ক্ষেত্রে) বৃদ্ধিপ্রাপ্ত ক্ষেত্রফল পাওয়া যাবে।

১. একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ শতকরা ৫০% বৃদ্ধি করলে বৃত্তের ক্ষেত্রফল কত বৃদ্ধি পাবে ? [সহকারী পরিচালক (পরিবেশ অধিদপ্তর)-২০১১]

(ক) ১২০% (খ) ১২৫% (গ) ১৩০% (ঘ) ১৫২%

উত্তরঃ (খ) ১২৫%

Explanation:
শর্ট টেকনিক:
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = ${((\frac{১০০ + বৃদ্ধির হার}{১০০}, ))}^{২}$
= ${((\frac{১০০ + ৫০}{১০০}, ))}^{২}$
= ${((\frac{১৫০}{১০০}, ))}^{২}$
= ${((\frac{১৫}{১০}, ))}^{২}$
= $\frac{২২৫}{১০০}$
∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = (২২৫-১০০) = ১২৫%

২. একটি বর্গক্ষেত্রের প্রতিটি বাহু ১০% বৃদ্ধি করলে ক্ষেত্রফল কত বৃদ্ধি পাবে ?[বিস্ফোরক অফিসার-২০০১]

(ক) ১৫% (খ) ২০% (গ) ২১% (ঘ) ২২%

উত্তরঃ (গ) ২১%

Explanation:
শর্ট টেকনিক:
ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = ${((\frac{১০০ + বৃদ্ধির হার}{১০০}, ))}^{২}$
= ${((\frac{১০০ + ১০}{১০০}, ))}^{২}$
= ${((\frac{১১০}{১০০}, ))}^{২}$
= ${((\frac{১১}{১০}, ))}^{২}$
= $\frac{১২১}{১০০}$
∴ ক্ষেত্রফল বৃদ্ধি = (১২১-১০০) = ২১%

৩. কোনো বর্গক্ষেত্রের এক বাহুর দৈর্ঘ্য ৫০% বৃদ্ধি করলে, তার ক্ষেত্রফল শতকরা কতটা বাড়বে ?[বিসিআরসি এর সিনিয়র অফিসার-১৯৯৮]

(ক) ২৫ বর্গএকক (খ) ১২৫ বর্গএকক (গ) ২২৫ বর্গএকক (ঘ) কোনোটিই নয়

উত্তরঃ (খ) ১২৫ বর্গএকক

সূত্র-৪: ত্রিভুজাকৃতির ক্ষেত্রের-
ক্ষেত্রফল = $\frac{১}{২}$ ×ভূমি × উচ্চতা

১. একটি ত্রিভুজাকৃতি জমির ভূমি ৫০ মিটার এবং উচ্চতা ২০ মিটার প্রতি বর্গমিটার ১.৫০ টাকা হিসেবে ঘাস লাগাতে কত খরচ হবে ? [কর্মসংস্থান ব্যাংক এসিসট্যান্ট অফিসার-২০০১]

(ক) ৬০০ টাকা (খ) ৬৫০ টাকা (গ) ৭০০ টাকা (ঘ) ৭৫০ টাকা

উত্তরঃ (ঘ) ৭৫০ টাকা

Explanation:
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{১}{২}$ × ভূমি × উচ্চতা
= $\frac{১}{২}$ × ৫০ × ২০ বর্গমিটার
= ৫০০ বর্গমিটার
১ বর্গমিটারে ঘাস লাঘাতে খরচ হয় = ১.৫০ টাকা
৫০০ বর্গমিটারে ঘাস লাঘাতে খরচ হয় = ৫০০ ×১.৫০ = ৭৫০ টাকা।

২. একটি ত্রিভুজাকৃতি জমির ভূমির পরিমাণ ৮০ মিটার এবং উচ্চতার পরিমাপ ৪৫ মিটার। জমির ক্ষেত্রফল হবে - [পররাষ্ট্র মন্ত্রণালয়ের প্রশাসনিক কর্মকর্তা -২০০৪]

(ক) ১৮০০ বর্গমিটার (খ) ৯০০ বর্গমিটার (গ) ৩৬০ বর্গমিটার (ঘ) ২৪০০ বর্গমিটার

উত্তরঃ (ক) ১৮০০ বর্গমিটার

Explanation:
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{১}{২}$ × ভূমি × উচ্চতা
= $\frac{১}{২}$ × ৮০ × ৪৫ বর্গমিটার
= ১৮০০ বর্গমিটার

৩. একটি ত্রিভুজাকৃতি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ৮৪ বর্গগজ। ত্রিভুজটির শীর্ষ বিন্দু হতে ভুমির উপর অংকিত লম্বের দৈর্ঘ্য ১২ গজ হলে ভূমির দৈর্ঘ্য কত ? [পল্লী বিদ্যুতায়ন সহকারী সচিব-২০১৩]

(ক) ১১ (খ) ১২ (গ) ১৩ (ঘ) ১৪

উত্তরঃ (ঘ) ১৪

Explanation:
ভূমির দৈর্ঘ্য = (ক্ষেত্রফল×২)÷উচ্চতা
= (৮৪×২)÷১২
= ১৬৮÷১২
= ১৪ গজ

৪. একটি ত্রিভজের ভূমির পরিমাণ ৪ মিটার ও উচ্চতা ৩ মিটার।ক্ষেত্রফল কত ? [জাতীয় সঞ্চয় পরিদপ্তরের সহকারী পরিচালক-২০০৯]

(ক) ৬ বর্গমিটার (খ) ৯ বর্গমিটার (গ) ১২ বর্গমিটার (ঘ) ১৮ বর্গমিটার

উত্তরঃ (ক) ৬ বর্গমিটার

Explanation:
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{১}{২}$ × ভূমি × উচ্চতা
= $\frac{১}{২}$ × ৪ × ৩ বর্গমিটার
= ৬ বর্গমিটার

সূত্র-৫: আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের যতগুণ এবং ক্ষেত্রফল দেওয়া থাকলে দৈর্ঘ্য/প্রস্থ/ পরিসীমা বের করতে-
দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(ক্ষত্রেফল × দৈর্ঘ্য প্রস্থের যতগুণ)}$
প্রস্থ = $\sqrt{(ক্ষত্রেফল ÷ দৈর্ঘ্য প্রস্থের যতগুণ)}$
পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ )

১. একটি আয়তকার ঘরের দৈর্ঘ্য বিস্তারের দ্বিগুণ। এর ক্ষেত্রফল ৫১২ বর্গমিটার হলে, পরিসীমা কত ?[২৫ তম বিসিএস]

(ক) ৯৬ মিটার (খ) ২৫৬ মিটার (গ) ১২৮ মিটার (ঘ) ৪৮ মিটার

উত্তরঃ (ক) ৯৬ মিটার

Explanation:
শর্ট টেকনিক:
দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(ক্ষত্রেফল × দৈর্ঘ্য প্রস্থের যতগুণ)}$
= $\sqrt{৫১২ × ২}$
= $\sqrt{১০২৪}$ = ৩২ মিটার
প্রস্থ = $\sqrt{(ক্ষত্রেফল ÷ দৈর্ঘ্য প্রস্থের যতগুণ)}$
= $\sqrt{৫১২ ÷২}$
= $\sqrt{২৫৬}$ = ১৬ মিটার
পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ )
= ২ ( ৩২ + ১৬ ) = ২×৪৮ = ৯৬ মিটার

২. একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দেড়গুণ। ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল ৯৬ বর্গমিটার হলে,ক্ষেত্রটির দৈর্ঘ্য কত ?[শ্রম অফিসার -১৯৯৫]

(ক) ১২ মিটার (খ) ৬ মিটার (গ) ৮ মিটার (ঘ) ১৬মিটার

উত্তরঃ (ক) ১২ মিটার

Explanation:
শর্ট টেকনিক:
দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(ক্ষত্রেফল × দৈর্ঘ্য প্রস্থের যতগুণ)}$
= $\sqrt{৯৬ × ১.৫}$
= $\sqrt{১৪৪}$ = ১২ মিটার

৩. একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ। আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল ১২৫০ বর্গমিটার হলে এর দৈর্ঘ্য কত ?[৩০ তম বিসিএস]

(ক) ৩০ মিটার (খ) ৪০ মিটার (গ) ৫০ মিটার (ঘ) ৬০ মিটার

উত্তরঃ (গ) ৫০ মিটার

Explanation:
শর্ট টেকনিক:
দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(ক্ষত্রেফল × দৈর্ঘ্য প্রস্থের যতগুণ)}$
= $\sqrt{১২৫০ × ২}$
= $\sqrt{২৫০০}$ = ৫০ মিটার

৪. একটি ক্ষেত্রফলের দৈর্ঘ্য তার প্রস্থের ১.৫ গুণ। ঐ ক্ষেত্রফল ২১৬ বর্গমিটার হলে তার দৈর্ঘ্য কত ?[থানা পরিদর্শক পরীক্ষা-২০০৯]

(ক) ৯ (খ) ১২ (গ) ১৮ (ঘ) কোনটিই নয়

উত্তরঃ (গ) ১৮

Explanation:
শর্ট টেকনিক:
দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(ক্ষত্রেফল × দৈর্ঘ্য প্রস্থের যতগুণ)}$
= $\sqrt{২১৬ × ১.৫}$
= $\sqrt{৩২৪}$ = ১৮ মিটার

৫. একটি আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য বিস্তারের দেড়গুণ। এর ক্ষেত্রফল ২১৬ বর্গমিটার হলে, তার পরিসীমা কত ? [শ্রম ও কর্মসংস্থান মন্ত্রণালয়ের সহকারী প্রধান পরিদর্শক-২০০৯]

(ক) ৩০ মি. (খ) ৪০ মি. (গ) ৫০ মি. (ঘ) ৬০ মি.

উত্তরঃ (ঘ) ৬০ মি.

Explanation:
শর্ট টেকনিক:
দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(ক্ষেত্রফল × দৈর্ঘ্য প্রস্থের যতগুণ)}$
= $\sqrt{২১৬ × ১.৫}$
= $\sqrt{৩২৪}$ = ১৮ মিটার
প্রস্থ = $\sqrt{(ক্ষেত্রফল ÷ দৈর্ঘ্য প্রস্থের যতগুণ)}$
= $\sqrt{২১৬ ÷ ১.৫}$
= $\sqrt{১৪৪}$ = ১২ মিটার
পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ )
= ২ ( ১৮ + ১২ ) = ২×৩০ = ৬০ মিটার

৬. একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য প্রস্থের ৩ গুণ। আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল ৩০০ বর্গমিটার হলে উহার পরিসীমা কত ?[ ২৪ তম বিসিএস]

(ক) ৭০মিটার (খ) ৭৫ মিটার (গ) ৮০ মিটার (ঘ) ৯০ মিটার

উত্তরঃ (গ) ৮০ মিটার

Explanation:
শর্ট টেকনিক:
দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(ক্ষেত্রফল × দৈর্ঘ্য প্রস্থের যতগুণ)}$
= $\sqrt{৩০০ × ৩}$
= $\sqrt{৯০০}$ = ৩০ মিটার
প্রস্থ = $\sqrt{(ক্ষেত্রফল ÷ দৈর্ঘ্য প্রস্থের যতগুণ)}$
= $\sqrt{৩০০ ÷ ৩}$
= $\sqrt{১০০}$ = ১০ মিটার
পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ )
= ২ ( ৩০ + ১০ ) = ২×৪০ = ৮০ মিটার

৭. একটি আয়তকার জমির দৈর্ঘ্য প্রস্থের দ্বিগুণ এবং উহার ক্ষেত্রফল ৮০০ বর্গমিটার হলে, জমিটির পরিসীমা কত মিটার ?[রেলওয়ে উপ সহকারী -২০১৩]

(ক) ১০০ (খ) ১৪০ (গ) ১২০ (ঘ) ১১৫

উত্তরঃ

Explanation:
শর্ট টেকনিক:
দৈর্ঘ্য = $\sqrt{(ক্ষেত্রফল × দৈর্ঘ্য প্রস্থের যতগুণ)}$
= $\sqrt{৮০০ × ২}$
= $\sqrt{১৬০০}$ = ৪০ মিটার
প্রস্থ = $\sqrt{(ক্ষেত্রফল ÷ দৈর্ঘ্য প্রস্থের যতগুণ)}$
= $\sqrt{৮০০ ÷ ২}$
= $\sqrt{৪০০}$ = ২০ মিটার
পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য + প্রস্থ )
= ২ ( ৪০ + ২০ ) = ২×৬০ = ১২০ মিটার