বর্গ ও বর্গমূল অধ্যায়টি খুবই গুরুত্বপূর্ণ । কারণ প্রায় প্রত্যেক জব পরীক্ষায়ই এ অধ্যায় থেকে প্রশ্ন এসে থাকে। কাজেই বর্গ ও বর্গমূল নির্ণয়ে আগে পারদর্শী হোন।তারপর নিচে দেওয়া বিগত সালের প্রশ্ন বুঝে বুঝে সমাধান করুন।
বর্গ ও বর্গমূল
বর্গ ও বর্গমূলঃ কোন সংখ্যাকে একই সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যায়, তাকে ঐ সংখ্যার বর্গ বলে এবং সংখ্যাটিকে গুণফলের বর্গমূল বলা হয়। যেমন, ৪×৪ বা ১৬ কে ৪ এর বর্গ এবং ৪ কে ১৬ এর বর্গমূল বলা হয়। বর্গমূল প্রকাশের জন্য দুইটি প্রতীক চিহ্ন ব্যবহৃত হয়। ১৬ এর বর্গমূল বোঝাতে লেখা হয় √১৬ বা । সব সংখ্যারই বর্গমূল আছে , কিন্তু সব সংখ্যারই বর্গমূল পূর্ণ সংখ্যায় নেই ।যেমন- ৩ এর বর্গমূল ১.৭৩২ কিন্তু ৪ এর বর্গমূল ২ ।
পূর্ণ বর্গসংখ্যাঃ যে সংখ্যার বর্গমূল কোন পূর্ণসংখ্যা বা ভগ্নাংশের সমান, তাকে পূর্ণবর্গ বলা হয়। যেমন- ৪,৯,১৬, , ।
কিছু গুরুত্বপূর্ণ তথ্যঃ
কোন পূর্ণ বর্গসংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক ০,১,৪,৫,৬ বা ৯ হবে।
কোন পূর্ণ বর্গসংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক ২,৩,৭ বা ৮ হতে পারে না।
যে সংখ্যার শেষে বিজোড় সংখ্যক শূন্য থাকে, ঐ সংখ্যা পূর্ণবর্গ নয়।
কোন বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গকে ৮ দ্বারা ভাগ করলে প্রতিক্ষেত্রে ভাগশেষ ১ হবে।
একটি শূন্য যুক্ত সংখ্যার উপর বর্গ দিলে তা দ্বিগুণ হয়ে যায় , তেমনি দুৃটি শূন্য যুক্ত সংখ্যার বর্গমূল বের করলে তা একটি হয়ে যায়। যেমন- ১০০ এর বর্গ ১০০০০ আবার ১০০০০ এর বর্গমূল ১০০ ।
করণীঃ যে সকল সংখ্যা পূর্ণবর্গ নয়, যাদের বর্গমূল সঠিকভাবে নির্ণয় করা যায়না, ঐ ধরনের বর্গমূলকে করণী বা অমূলদ সংখ্যা বলা হয়। যেমন-√৩, √৫, √৫০ ইত্যাদি।
কোনো সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক থেকে শুরু করে বামদিকে এক অঙ্ক পরপর যতটি ফোঁটা দেওয়া যায়, এর বর্গমূলের সংখ্যাটি তত অঙ্কবিশিষ্ট ।
স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল বের করার নিয়ম
দু পদ্ধতিতে বর্গমূল নির্ণয় করা যায় ।যথাঃ ১। উৎপাদক পদ্ধতি ২। ভাগ পদ্ধতি।
উৎপাদক পদ্ধতিতে বর্গমূল নির্ণয়ের নিয়মঃ
প্রথমে প্রদত্ত সংখ্যাকে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হয়।
প্রতিজোড়া একই উৎপাদককে একসাথে পাশাপাশি লিখতে হয়।
প্রতিজোড়া একজাতীয় উৎপাদকের পরিবর্তে একটি উৎপাদক নিয়ে লিখতে হয়।
লিখিত উৎপাদকগুলোর ধারাবাহিক গুণফল হবে নির্ণেয় বর্গমূল।যেমন-৩১৩৬ এর বর্গমূল কত?
এখানে, ৩১৩৬ = ২×২×২×২×২×২×৭×৭
= (২×২)×(২×২)×(২×২)×(৭×৭)
সুতরাং ৩১৩৬ এর বর্গমূল = ২×২×২×৭ = ৫৬
ভাগ প্রক্রিয়ার সাহায্যে বর্গমূল নির্ণয়ের নিয়মঃ
একটি উদাহরণের সাহায্যে ভাগ প্রক্রিয়ার সাহায্যে সাহায্যে বর্গমূল নির্ণয়ের পদ্ধতি দেখানো হলঃ
৩১৬৮৪ সংখ্যাটি লিখি ।
ডানদিক থেকে দুইটি করে অঙ্ক নিয়ে জোড়া করি । প্রত্যেক জোড়ার উপর রেখাচিহ্ন দিই ।
ভাগের সময় যেমন খাড়া দাগ দেওয়া হয়, ডানপাশে তদ্রূপ একটি খাড়া দাগ দিই ।
দেখা যাচ্ছে ডানদিকে দুইটি জোড়া ৮৪ ও ১৬ নেওয়ার পর ৩ অবশিষ্ট থাকে। জোড়া অবশিষ্ট না থাকলে একটি সংখ্যার সাথেই কাজ করতে হবে। ৩ এর পূর্ববর্তী বর্গসংখ্যাটি ১, যার বর্গমূল √১ বা ১ ; খাড়া দাগের ডানপাশে ১ লিখি ।
এখন ৩ এর ঠিক নিচে ১ লিখি ।
এখন ৩ থেকে ১ বিয়োগ করি ।
বিয়োগফল ২ এর ডানে পরবর্তী জোড়া ১৬ বসাই। ২১৬ এর বামদিকে খাড়া দাগ (ভাগের চিহ্ন) দিই ।
ভাগফলের ঘরের সংখ্যা ১ এর দ্বিগুণ ২ নিচের খাড়া দাগের বামপাশে বসাই। ২ এবং খাড়া দাগের মধ্যে একটি অঙ্ক বসানোর মতো স্থান রাখি ।
এখন একটি এক অঙ্কের সংখ্যা খুঁজে বের করি যাকে ২ এর ডানপাশে বসিয়ে প্রাপ্ত সংখ্যাকে ঐ সংখ্যাটি দ্বারা গুণ করে ২১৬ এর সমান বা অনুর্ধ্ব ২১৬ পাওয়া যায়।
এক্ষেত্রে ৭ হবে। ৭ সংখ্যাটি ভাগফলেও ১ এর ডানপাশে বসাই।
ভাগফলের স্থানে পাওয়া গেল ১৭।
এখন ২১৬ এর ঠিক নিচে ১৮৯ লিখি ।
এখন ২১৬ থেকে ১৮৯ বিয়োগ করি ।
বিয়োগফল ২৭ এর ডানে পরবর্তী জোড়া ৮৪ বসাই। ২৭৮৪ এর বামদিকে খাড়া দাগ (ভাগের চিহ্ন) দিই ।
ভাগফলের ঘরের সংখ্যা ১৭ এর দ্বিগুণ ৩৪ নিচের খাড়া দাগের বামপাশে বসাই। ৩৪ এবং খাড়া দাগের মধ্যে একটি অঙ্ক বসানোর মতো স্থান রাখি ।
এখন আবার ও একটি এক অঙ্কের সংখ্যা খুঁজে বের করি যাকে ১৭ এর ডানপাশে বসিয়ে প্রাপ্ত সংখ্যাকে ঐ সংখ্যাটি দ্বারা গুণ করে ২৭৮৪ এর সমান বা অনুর্ধ্ব ২৭৮৪ পাওয়া যায়।
এক্ষেত্রে ৮ হবে। ৮ সংখ্যাটি ভাগফলেও ১৭ এর ডানপাশে বসাই।
ভাগফলের স্থানে পাওয়া গেল ১৭৮ । এটিই নির্ণেয় বর্গমূল।
লক্ষণীয় যে ভাগের সাহায্যে বর্গমূল নির্ণয় করার সময় সংখ্যার ডান দিক অঙ্কের জোড় না থাকলে একে জোড়া ছাড়াই গণ্য করতে হবে।
সুতরাং ৩১৬৮৪ এর বর্গমূল ১৭৮ ।
দশমিক ভগ্নাংশের বর্গমূল বের করার নিয়ম
দশমিক ভগ্নাংশের বর্গমূল
পূর্ণসংখ্যা বা অখণ্ড সংখ্যার বর্গমূল ভাগের সাহায্যে যেভাবে নির্ণয় করা হয়েছে, দশমিক ভগ্নাংশের বর্গমূলও সেই নিয়মেই নির্ণয় করা হয়। দশমিক ভগ্নাংশের দুইটি অংশ থাকে। দশমিক বিন্দুর বামদিকের অংশকে অখণ্ড বা পূর্ণ অংশ এবং দশমিক বিন্দুর ডানপাশের অংশকে দশমিক অংশ বলা হয়।
দশমিক ভগ্নাংশের বর্গমূল করার নিয়মঃ
অখণ্ড অংশে একক থেকে ক্রমান্বয়ে বামদিকে প্রতি দুই অঙ্কের উপর দাগ দিতে হয়।
দশমিক অংশে দশমিক বিন্দুর ডানপাশের অঙ্ক থেকে শুরু করে ডানদিকে ক্রমান্বয়ে জোড়ায় জোড়ায় দাগ দিতে হয়। এরূপে যদি দেখা যায় সর্বশেষে মাত্র একটি অঙ্ক বাকি আছে, তবে তারপরে একটি শূন্য বসিয়ে দুই অঙ্কের উপর দাগ দিতে হয়।
সাধারণ নিয়মে বর্গমূল নির্ণয়ের প্রক্রিয়ায় অখণ্ড অংশের কাজ শেষ করে দশমিক বিন্দুর পরের প্রথম দুইটি অঙ্ক নামানোর আগেই বর্গমূলে দশমিক বিন্দু দিতে হয়।
দশমিক বিন্দুর এক জোড়া শূন্যের জন্য বর্গমূলে দশমিক বিন্দুর পর একটি শূন্য দিতে হয়। নিচে উদাহরণের সাহায্যে বিষয়টি দেখানো হল ।
অপশন ধরে দ্রুত বর্গমূল বের করার শর্টকাট নিয়ম
কোন বর্গ সংখ্যার শেষে ৫ থাকলে তার বর্গমূলের সংখ্যাটির শেষেও ৫ থাকবে ।
কোন বর্গ সংখ্যার শেষে ৬ থাকলে তার বর্গমূলের সংখ্যাটির শেষে ৪ অথবা ৬ থাকবে ।
কোন বর্গ সংখ্যার শেষে ১ থাকলে তার বর্গমূলের সংখ্যাটির শেষেও ১ ই থাকবে ।
কোন বর্গ সংখ্যার শেষে ৪ থাকলে তার বর্গমূলের সংখ্যাটির শেষে ২ থাকবে ।
কোন বর্গ সংখ্যার শেষে ০ থাকলে তার বর্গমূলের সংখ্যাটির শেষেও ০ থাকবে ।
নিচে এরুপ কিছু উদাহরণ দেখুন:
উদাহরণ: ১ . ৭৩৯৬ এর বর্গমূল কত? [ সাব-রেজিস্টার পরীক্ষা-২০০১]
উত্তরঃ (ঘ) ৮৬
Explanation: [ শেষে ৬ আছে তাই উত্তর ৮৬ ]
উদাহরণ: ২ . একটি শ্রেণীতে যতজন ছাত্র আছে প্রত্যেকে তত টাকা করে প্রদান করলে মোট ৬৫৬১ টাকা হয়। ছাত্র সংখ্যা কত ? [কর্মসংস্থান ব্যাংক সহকারী অফিসার-২০০১]
উত্তরঃ (গ) ৮১
Explanation: [ শেষে ১ আছে তাই উত্তর ৮১ ]
আবার ঘুরিয়ে আসলে ও উপরের নিয়মগুলোই প্রয়োগ করবেন।যেমন:
উদাহরণ: ৩ . ১৪৪ এর বর্গ কত? [ সাব-রেজিস্টার পরীক্ষা-২০০১]
উত্তরঃ (খ) ২০৭৩৬
Explanation: [ বর্গের ক্ষেত্রে শেষে ৪ এর থাকলে এর বর্গ সংখ্যাতে শেষে ৬ হবে ]
কখনো একাধিক অপশনের মধ্যে সন্দেহ হলে যে অপশন গুলো বাদ দেয়া যাবে তা বাদ দিয়ে অন্য গুলো থেকে উত্তর বের করতে হবে।যেমন:
উদাহরণ: ৪ . একটি ছাত্রাবাসে কিছু ছাত্র থাকে। যতজন ছাত্র তত টাকা করে চাঁদা দেয়াতে যদি মোট ৫৭৬ টাকা উঠে তাহলে ঐ ছাত্রাবাসে মোট কতজন ছাত্র থাকে? [ সাব-রেজিস্টার পরীক্ষা-২০০১]
উত্তরঃ (ক) ২৪
Explanation: প্রথমেই প্রশ্নের ৫৭৬ দেখে বুঝে নিতে হবে বর্গমূলের সংখ্যাটির শেষ ৪ অথবা ৬ হবে।তাহলে (খ) এবং (গ) অপশনটি খুব সহজেই বাদ দেয়া যায়।এখন ক ও খ এর মধ্যে ২৪ কে ২৪ আবার ৩৫ কে ৩৫ দ্বারা গুণ করে বের করতে হবে কোনটি সঠিক উত্তর।এখানে সঠিক উত্তর (ক) ২৪ ।
পূর্ণ বর্গ সংখ্যা তৈরি করা
২১৯৫২ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?
যে কোন পূর্ণ বর্গ সংখ্যার ভেতরে অবস্থিত উৎপাদক গুলো সব সময় জোড়ায় জোড়ায় থাকে।তাই কোন সংখ্যার উৎপাদক জোড় না থাকলে যে সংখ্যার জোড়া থাকবে না তাকে দিয়ে গুণ করতে হবে।আবার ভাগ করতে বলা হলে যার জোড়া নেই তাকে দিয়ে ভাগ করতে হবে।
সমাধান:
সুতরাং ২১৯৫২ = ২×২×২×২×২×২×৭×৭×৭
= (২×২)×(২×২)×(২×২)×(৭×৭)×৭
যেহেতু এখানে একটি ৭ জোড়াবিহীন অবস্থায় রয়েছে।তাই ৭ দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে।
বিভিন্ন প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষার প্রশ্ন ও সমাধান
১. ১০২৪ এর বর্গমূল কত ? [ইসলামী ব্যাংক সহকারী অফিসার-২০০৫]
উত্তরঃ ৩২
Explanation: এখানে ১০২৪ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করলে দাড়ায়
১০২৪ = ২×২×২×২×২×২×২×২×২×২
১০২৪ = (২×২)×(২×২)×(২×২)×(২×২)×(২×২)
সুতরাং ১০২৪ এর বর্গমূল = ২×২×২×২×২ = ৩২
২. √০.০৯ = কত? [সমাজসেবা অধিদপ্তরের প্রবেশন অফিসার-২০১৩]
উত্তরঃ (খ) ০.৩
Explanation: “দশমিক ভগ্নাংশের বর্গমূল বের করার নিয়ম” অংশটি ভালভাবে দেখুন এবং নিজে উত্তর বের করুন।
৩. ০.০০০১ এর বর্গমূল কত? [সহকারী উপজেলা শিক্ষা অফিসার-২০১২]
উত্তরঃ (খ) ০.০১
Explanation: “দশমিক ভগ্নাংশের বর্গমূল বের করার নিয়ম” অংশটি ভালভাবে দেখুন এবং নিজে উত্তর বের করুন।
৪. √০.০০০০০৬২৫ = কত? [সহকারী আবহাওয়াবিদ-২০০০]
উত্তরঃ (ক) ০.০০২৫
Explanation: “দশমিক ভগ্নাংশের বর্গমূল বের করার নিয়ম” অংশটি ভালভাবে দেখুন এবং নিজে উত্তর বের করুন।
৫. √০.০০০০০৯ = কত? [ এনএসআই এর সহকারী পরিচালক-২০১৫]
উত্তরঃ (গ) ০.০০৩
Explanation: “দশমিক ভগ্নাংশের বর্গমূল বের করার নিয়ম” অংশটি ভালভাবে দেখুন এবং নিজে উত্তর বের করুন।
৬. √১৫.৬০২৫ =? [৩৬ তম বিসিএস]
উত্তরঃ (গ) ৩.৯৫
Explanation: “দশমিক ভগ্নাংশের বর্গমূল বের করার নিয়ম” অংশটি ভালভাবে দেখুন এবং নিজে উত্তর বের করুন।
৭. √০.০০০৯ = কত? [পল্লী বিদ্যুতায়ন বোর্ড সহকারী পরিচালক (প্রশাসন) -২০১৩]
উত্তরঃ (ক) ০.০৩
Explanation: “দশমিক ভগ্নাংশের বর্গমূল বের করার নিয়ম” অংশটি ভালভাবে দেখুন এবং নিজে উত্তর বের করুন।
৮. ০.১ এর বর্গমূল কত? (বাতিলকৃত ২৪তম বিসিএস)
উত্তরঃ (ঘ) কোনটিই নয়
Explanation: “দশমিক ভগ্নাংশের বর্গমূল বের করার নিয়ম” অংশটি ভালভাবে দেখুন এবং নিজে উত্তর বের করুন।
৯. ২০৭৪০ সংখ্যক সৈন্যকে বর্গাকারে সাজাতে গিয়ে ৪ জন অতিরিক্ত হয়। প্রতি সারিতে সৈন্য সংখ্যা- [ এনএসআই এর সহকারী পরিচালক-২০১৫]
উত্তরঃ (খ) ১৪৪
Explanation: সৈন্য সংখ্যা থেকে ৪ জন সৈন্য বাদ দিলে যে সৈন্য সংখ্যা পাওয়া যাবে তার বর্গমূল নিলেই প্রতি সারিতে সৈন্য সংখ্যা পাওয়া যাবে।
২০৭৪০-৪ = ২০৭৩৬ জন
এখানে, ২০৭৩৬ = (২×২)×(২×২)×(২×২)×(২×২) ×(৩×৩) ×(৩×৩)
সুতরাং ২০৭৩৬ এর বর্গমূল = ২×২×২×২×৩×৩ = ১৪৪
প্রতি সারিতে সৈন্য সংখ্যা = ১৪৪ জন
১০. ২৪৫০ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গসংখ্যা হবে ? [ সাব-রেজিস্টার পরীক্ষা-২০০১]
উত্তরঃ ২
Explanation: এখানে, ২৪৫০ = ২×৫×৫×৭×৭
দেখা যাচ্ছে ২ জোড়াবিহীন।
তাই ২ দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গসংখ্যা হবে ।
১১. কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা দ্বারা ৪৬০৮ কে ভাগ করলে পূর্ণবর্গ পাওয়া যাবে ? [ এনএসআই এর সহকারী পরিচালক-২০১৫]
উত্তরঃ ২
Explanation:
এখানে, ৪৬০৮ = ২×২×২×২×২×২×২×২×২×৩×৩
এখানে, ৪৬০৮ = (২×২)×(২×২)×(২×২)×(২×২)×২×(৩×৩)
দেখা যাচ্ছে ২ জোড়াবিহীন।
তাই ২ দ্বারা ভাগ করলে সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গসংখ্যা হবে ।
১২. ৭৪২৮ থেকে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা বিয়োগ করলে বিয়োগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে ? [ সহকারী আবহাওয়াবিদ-২০১৩]
উত্তরঃ ৩২
Explanation: ৭৪২৮ সংখ্যাটিকে বর্গমূল করলে ৩২ অবশিষ্ট থাকে। তাই ৩২ বিয়োগ করলে বিয়োগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে ।
১৩. ৪৭০৮০ জন সৈন্য থেকে কমপক্ষে কত জন সৈন্য সরিয়ে নিলে সৈন্য দলকে বর্গাকারে সাজাানো যাবে ? [ সাব-রেজিস্টার পরীক্ষা-২০০১]
উত্তরঃ (গ) ৪২৪
Explanation: ৪৭০৮০ সংখ্যাটিকে বর্গমূল করলে ৪২৪ অবশিষ্ট থাকে। তাই ৪২৪ জন সৈন্য সরিয়ে নিলে সৈন্য দলকে বর্গাকারে সাজাানো যাবে ।
১৪. ৬৫১২০১ এর সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণ বর্গসংখ্যা [ এনএসআই এর সহকারী পরিচালক-২০১৫]
উত্তরঃ ৪৮,৮০৭
Explanation: ৬৫১২০১ সংখ্যাটিকে বর্গমূল করলে ৪৮ অবশিষ্ট থাকে।তখন বর্গমূল হয় ৮০৬।৬৫১২০১ সংখ্যাটিকে পূর্ণবগ করতে হলে এর সাথে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ অথবা বিয়োগ করতে হবে।কিন্তু যোগ করলে তখন এর বর্গমূল হবে ৮০৭ এবং ৮০৭ এর বর্গ থেকে ৬৫১২০১ বিয়োগ করলে যোগ করার ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি পাওয়া যাবে।অর্থাৎ (৮০৭×৮০৭)- ৬৫১২০১ = ৬৫১২৪৯-৬৫১২০১ = ৪৮ যোগ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে ।
১৫. একটি স্কুলে প্যারেড করার সময় ছাত্রদের ১০,১২ বা ১৬ সারিতে সাজানো হয়। ঐ স্কুলে ন্যূনতম কতজন ছাত্র আছে ? [সাব-রেজিস্টার-২০১৬]
উত্তরঃ (ঘ) ২৪০
Explanation: ন্যূনতম ছাত্র সংখ্যা ১০,১২ এবং ১৬ এর ল.সা.গু। ১০,১২ এবং ১৬ এর ল.সা.গু = ২৪০ ।
১৬. একটি স্কুলে ছাত্রদের ড্রিল করাবার সময় ৮,১০ এবং ১২ সারিতে সাজানো যায়। আবার বর্গাকারেও সাজানো যায়। ঐ স্কুলে কমপক্ষে কত জন ছাত্র আছে? [১২তম বিসিএস]
উত্তরঃ (ক) ৩৬০০
Explanation: ৮,১০,১২ এর উৎপাদক = ২×২×২×৫×৩ = ১২০
সুতরাং ৮, ১০,১২ এর ল.সা.গু = ১২০।
কিন্তু এতে ছাত্রদের ৮,১০ এবং ১২ সারিতে সাজানো গেলে ও বর্গাকারে সাজানো যাবে না ।
এখন ১২০ কে পূর্ণবগ করতে হলে কমপক্ষে ২×৫×৩ = ৩০ দ্বারা গুণ করতে হবে।
ছাত্রদের বর্গাকারে সাজানো যাবে ,যদি ছাত্রসংখ্যা = ১২০×৩০ = ৩৬০০ জন হয়।
১৭. একটি শ্রেণীতে যতজন ছাত্র আছে প্রত্যেকে তত টাকা করে প্রদান করলে মোট ৬৫৬১ টাকা হয়। ছাত্র সংখ্যা কত ? [কর্মসংস্থান ব্যাংক সহকারী অফিসার-২০০১]
উত্তরঃ (ঘ) ৮১
Explanation: ধরি, ছাত্রসংখ্যা= ক জন
১ জন ছাত্র দেয়= ক টাকা,
ক জন ছাত্র দেয় = ক×ক = টাকা
প্রশ্নমতে, = ৬৫৬১
বা, ক = ৮১ [৬৫৬১ এর বর্গমূল করে]
সুতরাং ছাত্র সংখ্যা = ৮১ জন
১৮. কোন শ্রেণীতে যতজন শিক্ষার্থী প্রত্যেকে তত দশ পয়সা করে চাঁদা দেয়ায় নব্বই টাকা সংগ্রহ হল। ঐ শ্রেণীতে শিক্ষার্থীর সংখ্যা- [সমাজসেবা অধিদপ্তরের উপসহকারী পরিচালক-২০০৫]
উত্তরঃ (গ) ৩০ জন
Explanation: ধরি, শিক্ষার্থীর সংখ্যা= ক জন
১ জন ছাত্র দেয়= ১০ ক পয়সা,
ক জন ছাত্র দেয় = ক×১০ক = পয়সা
এখানে, ৯০ টাকা = ৯০×১০০ = ৯০০০ পয়সা
প্রশ্নমতে, = ৯০০০
বা, = ৯০০
বা, ক=৩০ [৯০০০ এর বর্গমূল করে]
সুতরাং শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ৩০ জন
১৯. যত দাতা প্রত্যেকে তত ১০ পয়সা দেয়াতে ২৫০ পয়সা হল। দাতার সংখ্যা কত ? [কর্মসংস্থান ব্যাংক সহকারী অফিসার-২০০১]
উত্তরঃ (ক) ৫
Explanation: ধরি, দাতার সংখ্যা = ক জন
১ জন দাতা দেয় = ১০ ক পয়সা
ক জন ছাত্র দেয় = ক×১০ক = পয়সা
প্রশ্নমতে, = ২৫০
বা, = ২৫
বা, ক = ৫ [২৫ এর বর্গমূল করে]
সুতরাং দাতার সংখ্যা= ৫ জন
২০. কোন স্থানে যত লোক আছে তত পাঁচ পয়সা জমা করায় মোট ৩১.২৫ টাকা জমা হল। ঐ স্থানে কত লোক ছিল ? [রাষ্ট্রায়ত্ত ব্যাংক সিনিয়র অফিসার-৯৮, প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক-২০১৮]
উত্তরঃ (ক) ২৫
Explanation: ধরি, ঐ স্থানে লোক ছিল = ক জন
প্রশ্নমতে,০.০৫×ক×ক = ৩১.২৫
বা, =
=
= ৬২৫
বা, ক = ২৫ [৬২৫ এর বর্গমূল করে]
সুতরাং ঐ স্থানে লোক ছিল = ২৫ জন
২১. একটি ক্লাসের শিক্ষার্থীদের মধ্যে ২৭০০ চকলেট বিতরণ করা হলো। প্রত্যেক শিক্ষার্থীর ক্লাসের মোট শিক্ষার্থী সংখ্যার তিনগুণ পরিমাণ চকলেট পেলে ক্লাসে মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা কত ? [ প্রাথমিক বিদ্যালয় সহকারী শিক্ষক-২০১৯(১ম ধাপ)]
উত্তরঃ (ক) ৩০
Explanation: ধরি, শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ক জন
প্রশ্নমতে,ক×৩×ক = ২৭০০
বা,৩ = ২৭০০
বা, = ২৭০০÷৩ = ৯০০
বা,ক = ৩০ [৯০০ এর বর্গমূল করে]
সুতরাং মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা ৩০ জন
২২. কোন সংখ্যার বর্গমূলের সাথে ১০ যোগ করলে যোগফল ৪ এর বর্গ হবে? [পরিবার পরিকল্পনা অধিদপ্তরের পরিবার কল্যাণ পরিদশক প্রশিক্ষণাথী-২০১৫]
উত্তরঃ (ক) ৩৬
Explanation: ধরি,সংখ্যাটি ‘ক’
প্রশ্নমতে,√ক+১০ =
বা,√ক = ১৬-১০
বা,√ক = ৬
বা, = [ বর্গ করে ]
∴ক= ৩৬
∴সংখ্যাটি = ৩৬
২৩. কোন সংখ্যার বর্গমূলের সাথে ২০ যোগ করলে যোগফল ৫ এর বর্গ হবে? [প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক-২০১৫]
উত্তরঃ (গ) ২৫
Explanation: ধরি,সংখ্যাটি ‘ক’
প্রশ্নমতে,√ক+২০ =
বা,√ক = ২৫-২০
বা,√ক = ৫
বা, = [ বর্গ করে ]
∴ক= ২৫
∴সংখ্যাটি = ২৫
২৪. কোন শ্রেণিতে যতজন ছাত্রছাত্রী পড়ে প্রত্যেকে তার সহপাঠীর সংখ্যার সমান চাঁদা দেয়ায় মোট ৪২০ টাকা চাঁদা উঠলো ।ঐ শ্রেণির ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা কত? [ প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক-২০১৯( ৩য় ধাপ)]
উত্তরঃ (খ) ২১
Explanation: ধরি, ছাত্রছাত্রী সংখ্যা = ক জন
১ জন ছাত্র দেয় = ক - ১ টাকা
ক জন ছাত্র দেয় = ক(ক -১) = - ক টাকা
প্রশ্নমতে, - ক = ৪২০
বা, - ক - ৪২০ = ০
বা, - ২১ক+২০ক - ৪২০ = ০
বা, ক (ক -২১) + ২০( ক - ২১) = ০
বা, (ক -২১) ( ক-+২০) = ০
হয় , ক -২১ = ০ নতুবা ক +২০ = ০
বা, ক = ২১ বা, ক = -২০ [ গ্রহণযোগ্য নহে]
সুতরাং ঐ শ্রেণির ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা = ২১ ।
২৫. একটি শ্রেণিতে যতজন ছাত্র/ছাত্রী পড়ে প্রত্যেকে তত পয়সার থেকে আরও ২৫ পয়সা বেশি করে চাঁদা দেয়াতে ৭৫ টাকা উঠল। ঐ শ্রেণির ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা কত? [ ৩৪তম বিসিএস]
উত্তরঃ (ঘ) ৭৫
Explanation: ধরি, ছাত্রছাত্রী সংখ্যা = ক জন
প্রত্যেক ছাত্র দেয় = ক + ২৫ পয়সা
ক জন ছাত্র দেয় = ক(ক + ২৫) পয়সা = + ২৫ ক পয়সা
এখানে, ৭৫ টাকা = ৭৫×১০০ = ৭৫০০ পয়সা
প্রশ্নমতে, + ২৫ ক = ৭৫০০
বা, + ২৫ ক - ৭৫০০ = ০
বা, - ৭৫ক+১০০ক - ৭৫০০ = ০
বা, ক (ক -৭৫) + ২৫( ক - ৭৫) = ০
বা, (ক -৭৫) ( ক-+২৫) = ০
হয় , ক - ৭৫ = ০ নতুবা ক +২৫ = ০
বা, ক = ৭৫ বা, ক = -২৫ [ গ্রহণযোগ্য নহে]
সুতরাং ঐ শ্রেণির ছাত্রছাত্রীর সংখ্যা = ৭৫ জন ।
২৬. ৯২২০ জন সৈন্য থেকে কমপক্ষে কত জন সৈন্য সরিয়ে রাখলে সৈন্য দলকে বর্গাকারে সাজানো যাবে ? [ প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক-২০১৯( ৪র্থ ধাপ)]
উত্তরঃ (গ) ৪
Explanation: ৯২২০ সংখ্যাটিকে বর্গমূল করলে ৪ অবশিষ্ট থাকে।তাই ৪ জন সৈন্য সরিয়ে নিলে সৈন্য দলকে বর্গাকারে সাজাানো যাবে ।